18 d’abril de 2017

Un joc d'estratègia amb aire diofàntic

A la 53a Olimpiada Matemática Española, celebrada al mes de març de 2017, es va proposar el següent problema que convida a analitzar un joc. El més interessant és que, canviant els nombres, es pot jugar des de l'educació primària. Però la cerca d'una estratègia també comporta un bon treball matemàtic. La imatge del full de l'enunciat me la va enviar l'amic i especialista en jocs Jordi Deulofeu.


El joc es planteja sobre un tauler però poder fer un equivalent numèric ràpidament:
"Cada jugador pot sumar 53 o restar 2 alternativament. Es comença des de zero i guanya qui arriba exactament a 2017. No es pot sobrepassar en cap moment el 2017 ni es pot baixar de zero."
Com que no som "olímpics" treballarem el joc "a pic i pala". És interessant perquè en el seu estudi es poden veure dues fases ben diferents i, en una d'elles, la representació visual que fem ens pot ser de gran ajuda ja que ens permetrà fer analogies no numèriques per a la cerca de l'estratègia.

Reduïm el joc i fem les primeres passes

És molt habitual en l'anàlisi de jocs fer variacions que simplifiquin el problema i així poder facilitar els descobriments. Per exemple podem jugar amb +7 i -2 i que el límit sigui 23. Fins i tot per estudiar-lo a l'aula seria molt millor presentar inicalment una versió reduïda i més accessible. Abans de seguir llegint et proposem que analitzis el joc. I si ara no en tens ganes de fer-ho... continua la lectura.

Amb aquests nous nombres, quina quantitat anterior a 23 m'assegura guanyar? La resposta no és massa difícil: 18. Si al contrari li deixo 18 no pot sumar 7, perquè es passaria de 23, per tant està obligat a restar 2 deixant 15. Ara només em caldrà sumar 8 per arribar a 23. Molt bé, però quina quantitat anterior m'assegura arribar al 18 guanyador. Aplicant un raonament regressiu (molt habitual també en l'anàlisi de jocs) veurem que també seran 5 abans del 18: el 13. Si suma 7 podré restar 2 i deixar el total en 18 (13+7-2=18). Si en resta 2 podré sumar 7 i tornar a deixar en 18 (13-2+7=18). Fent aquest raonament regressiu veiem que els nombres guanyadors són:

18 - 13 - 8 - 3

A partir de qualsevol d'aquests nombres només cal fer "el contrari" que l'altre jugador: si suma 7 restarem 2, i si en resta 2 sumarem 7. Hi ha un nombre clau amagat que marquen les solucions: van de cinc en cinc. El cinc s'obté dels nombres del joc 7-2. El 3 que inicia la sèrie tampoc és difícil de calcular: és el residu de dividir 23 entre 5.

Com aconseguir un nombre guanyador?

El problema ara és com aconseguir una d'aquestes quantitats. Una possibilitat és fer un diagrama en arbre de les possibles jugades i "netejar-lo" després per deixar només l'estratègia guanyadora. Fent-ho veurem que amb aquests nombres pot guanyar sempre el primer jugador (A) ja que pot assegurar-se arribar a 3 o a 13 i, a partir d'aquí, aplicar el que hem vist: fer la jugada contrària a l'altre. Les línies vermelles indica que són jugades obligades.


Tornem al joc original

Apliquem el nostre anàlisi al problema original (-2, +53,  de 0 a 2017). El "nombre clau" serà 51 (53-2). El primer nombre guanyador serà 28 (el residu de dividir 2017 entre 51). Aquest nombre ens permet obtenir la resta de la sèrie de nombres guanyadors: 28 - 79 - 130 - 181.... 1915 - 1966. El primer dels jugadors que assoleixi una d'aquestes quantitats (de la forma 51n+28) podrà guanyar la partida. Però quin dels dos la pot aconseguir primer? Com? No sembla que el diagrama en arbre ens pugui ajudar gaire ara. Haurem de canviar l'enfocament.

T'animes a seguir?