21 de març de 2017

El Tangram mínim de Brügner (2)

A l'article anterior vam parlar del cas general del Tangram mínim de Brügner o tri-triangular amb el que es podien fer onze polígons convexos. També vam comentar que si partim d'un quadrat per a la seva construcció la quantitat de polígons convexos es reduïa a cinc.
Cas general del Tangram de Brügner
 Ja vam apuntar que hi havia un altre cas especial i, ho és tant, que ens hem estimat més dedicar-li tota una entrada. En aquest cas especial fem que un dels dos segment en el que queda dividida la diagonal sigui igual a un dels costats.
Tangram mínim especial
De fet, els rectangles amb aquestes proporcions es coneixen com a rectangles de Brügner. El cas és que, amb el tangram construït amb aquestes condicions augmentem la quantitat de polígons convexos que es poden fer. I no només això: hi trobarem interessants relacions de mesura entre els costats dels triangles i entre les seves àrees. El nombre d'or apareixerà de diferents formes. Et proposem diferents problemes:
  • Quants polígons convexes es poden fer?
  • Quina és la relació entre les mesures dels dos segments en que queda dividida la diagonal del rectangle?
  • I entre els costats del rectangle? I la del costat gran amb els altres tres segments que apareixen?
  • En quina proporció creixen les àrees dels tres triangles?


Ho mirem?


Polígons convexos


Amb el tangram de Brügner estàndard es poden fer onze poligons convexos, però en aquest cas augmentem la quantitat a setze, gairebé la meitat de casos més.
  • Dos rectangles
  • Dos paral·lelograms
  • Dos triangles
  • Tres trapezis
  • Dos estels
  • Un quadrilàter general
  • Quatre pentàgons
La imatge següent ens dóna una idea a les seves formes. Està extreta directament del primer llibre en el que vaig trobar aquest puzle: Cuentos y cuentas de los matemáticos de Rafael Rodríguez Vidal y M. Carmen Rodríguez Rigual, una obra del 1986, només dos anys posterior a la presentació del tangram pel seu autor.



Si baixeu al final de la pàgina hi trobareu les solucions.

Com és el tall de la diagonal? Quina és la relació entre els seus costats?

Podem establir una relació de semblança entre els triangles blau i groc, utilitzant l'anotació de l'esquema, que compari els catets petits i les hipotenuses respectives.
Si observem el que queda escrit veiem que la proporció entre la hipotenusa i el tros més gran (a) és la mateixa que la que tenim entre el tros gran (a) i el petit (c). Ni més ni menys: la diagonal del rectangle ha quedat dividida en proporció àuria.

Tenint en compte que ara sabem que ac i establint proporcions entre triangles podem descobrir en quina proporció estan els costats a i b i si també tenen alguna relació àuria.

Pels triangles groc i vermell podem dir que
Per altra banda sabem que ac i, per tant, c=a/Φ


Si ara comparem els triangles blau i vermell podrem trobar quina és la proporció entre els costats del rectangle del tangram.

Altres relacions de longituds

Si fixem ara que el valor de la diagonal del rectangles és 1 i recordem que els tres triangles són semblants, podrem trobar relacions molt interessants entre les diferents longituds.
De comparar el triangle blau amb el vermell podem extreure que:

De comparar el blau amb el groc:
I ara coneixent les relacions entre a i b, per un costat, i c i a, per l'altre, podem establir la relació entre c i b:

Ens queda encara la longitud d
Bonic! Si la diagonal és 1 tenim que 


I les àrees?

Recuperem primer les relacions entre els costats comparats amb a  que hem anat trobant anteriorment:
Les àrees de cada triangle són:


Amb aquesta informació podem veure que les àrees estan en progressió geomètrica amb constant àuria.

A l'aula

  • Buscar tots els polígons convexos.
  • Classificar-los.
  • Comparar amb els que es poden fer amb el tangram mínim general. Quins són estructuralment semblants, quins diferents.
  • Comparar perímetres.
  • Mirar com es pot passar d'un polígon a un altre: girant una peça, invertint-la, traslladant-la...
  • Construir-lo amb GeoGebra. Es pot fer una construcció aproximada a partir de la del tangram mínim general i deformant fins que el costat petit coincideixi de mesura amb la secció gran de la diagonal. Si es vol fer excacta convé partir de la secció àuria de la diagonal.
  • Demostrar que la construcció d'aquest tangram fa que la divisió de la diagonal sigui en proporció àuria.
  • Investigar les relacions entre les longituds dels costats del rectangle. També es pot fer la investigació entre les longituds entre els diferents segments en le cas de que la diagonal sigui 1 o en el cas general.
  • investigar les relacions entre les àrees dels triangles.

 

 

 

 

Solucions




1 comentari:

  1. Joan, fa molts anys vam preparar un joc de cartes per resoldre el repte de construir els 16 convexos amb les tres peces del Brugner auri
    Es tracta d'uns fulls que podem plegar pel mig i d'una banda tenim el contorn del poígon convex i de l'altra la disposició de les tres peces
    https://drive.google.com/open?id=0B1DWS9cJq5_wWkNzSnpaSWdyRlE

    ResponElimina