17 de juny de 2017

Experimentem els sorteigs "per lletra"

Fa molt poc Clara Grima publicava a l'ABC Ciència l'article "El sorteo por apellidos: la gran injusticia de la administración". La raó de la seva publicació va ser que la Junta de Castella-Lleó utilitzava, un cop més, aquest tipus de sorteig per dirimir els empats a l'hora d'adjudicar places escolars. Tothom hem sentit parlar d'aquest tipus de sorteig i, possiblement, l'hem patit, ja que fa uns anys eren més freqüents i a Catalunya també s'havia fet servir per adjudicar places escolars. L'article toca més temes, però en concret la injustícia matemàtica del sistema, està molt ben explicada i exemplificada. En tot cas és un exercici interessant aplicar-ho a la teva "realitat" perquè amb exemples reals i coneguts tot es veu i es viu d'una manera diferent. I, vet aquí, que tenim una magnífica situació per experimentar a l'aula amb la pròpia llista de la classe. A més, relativament fàcil de fer, perquè un cop entès el sistema d'anàlisis només cal que cada alumne faci l'estudi del seu cas i després només caldrà reunir les dades de tot el grup per comparar-les.


Un sorteig per lletra simple,  per adjudicar n places, funciona de la manera següent:
  • s'ordenen els candidats alfabèticament
  • s'extreu una lletra d'una urna
  • es cerca a la llista el primer nom que trobem a partir de la lletra que ha sortit.
  • s'adjudiquen les n places començant per aquesta
D'on prové la injustícia? Mirem-ho amb un exemple. L'estudi està fet amb els cognoms dels meus companys de feina que he reconvertit convenientment en noms de municipis de Catalunya. Ja us podeu imaginar qui és en realitat Jafre. La prova la farem adjudicant quatre places.

Cabrils, Calafell, Falset, Fígols, Figueres, Flix, Guissona, Gurb, Jafre, Linyola, Lladurs, Manresa, Martorell, Mollerussa, Montblanc, Mura, Peralada, Rellinars, Reus, Terrassa

Mirem alguns casos:
  • si surt la P els "afortunats" seran Peralada, Rellinars, Reus i Terrassa
  • si surt la R seran Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils, perquè es torna a començar pel principi de la llista.
  • si surt la Q tornen a ser els mateixos que abans (Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils) perquè amb la Q no tenim cap poble i, per tant, passa a la R.
Ho comencem a veure? Ens pot "tocar" amb més d'una lletra però cal mirar amb quines lletres ens toca i això depen de la llista concreta: quines lletres no hi són, quants pobles hi ha a cada lletra. Si fem un estudi observarem que, per quatre adjudicacions, Falset té un 50% de possibilitats de que li toqui i a Mura no li tocaria mai. El gràfic mostra clarament que les probabilitats no estan gens equilibrades.



Ho estudiem amb més atenció?

3 de maig de 2017

Una qüestió d'intercanvis

Aquest problema l'he conegut per Abel Hernández, alumne de Didàctica de les matemàtiques de Sergi Muria (@smuria)  i Jordi Font (@jfontgon) a la UB. És prou interessant com per dedicar-li un temps d'estudi. Com en molts problemes no interessen tant els casos particulars com la generalització. Però... com arribar a ella sense els casos particulars? Per altra banda, és un problema molt bonic per treballar-lo a l'aula reproduint-lo amb els propis alumnes.

Imaginem la situació següent: tenim una certa quantitat de persones, cadascuna amb un objecte personal. Les posem en fila, una al costat de l'altra. Cada persona pot fer dues coses: quedar-se amb l'objecte que té o intercanviar-lo amb una de les persones que tingui al costat. Aquest procés només es fa una vegada. El problema és esbrinar quantes distribucions d'objectes diferents podem obtenir després de fer-ho. En el següent vídeo podem veure quantes en podem obtenir amb tres participants.


Amb tres persones no és difícil d'analitzar. Si el segon no vol fer cap intercanvi cadascun es quedarà amb el seu objecte (el 1r i el 3r no se'l poden intercanviar). Si el 1r i el 2n se l'intercanvien el 3r es quedarà mirant. I si fan l'intercanvi el 2n i el 3r serà el 1r el que es quedarà amb el seu objecte. Hi ha tres casos.

Però i si són quatre persones? I si són cinc?

Investiguem?

18 d’abril de 2017

Un joc d'estratègia amb aire diofàntic

A la 53a Olimpiada Matemática Española, celebrada al mes de març de 2017, es va proposar el següent problema que convida a analitzar un joc. El més interessant és que, canviant els nombres, es pot jugar des de l'educació primària. Però la cerca d'una estratègia també comporta un bon treball matemàtic. La imatge del full de l'enunciat me la va enviar l'amic i especialista en jocs Jordi Deulofeu.


El joc es planteja sobre un tauler però poder fer un equivalent numèric ràpidament:
"Cada jugador pot sumar 53 o restar 2 alternativament. Es comença des de zero i guanya qui arriba exactament a 2017. No es pot sobrepassar en cap moment el 2017 ni es pot baixar de zero."
Com que no som "olímpics" treballarem el joc "a pic i pala". És interessant perquè en el seu estudi es poden veure dues fases ben diferents i, en una d'elles, la representació visual que fem ens pot ser de gran ajuda ja que ens permetrà fer analogies no numèriques per a la cerca de l'estratègia.

Reduïm el joc i fem les primeres passes

És molt habitual en l'anàlisi de jocs fer variacions que simplifiquin el problema i així poder facilitar els descobriments. Per exemple podem jugar amb +7 i -2 i que el límit sigui 23. Fins i tot per estudiar-lo a l'aula seria molt millor presentar inicalment una versió reduïda i més accessible. Abans de seguir llegint et proposem que analitzis el joc. I si ara no en tens ganes de fer-ho... continua la lectura.

Amb aquests nous nombres, quina quantitat anterior a 23 m'assegura guanyar? La resposta no és massa difícil: 18. Si al contrari li deixo 18 no pot sumar 7, perquè es passaria de 23, per tant està obligat a restar 2 deixant 15. Ara només em caldrà sumar 8 per arribar a 23. Molt bé, però quina quantitat anterior m'assegura arribar al 18 guanyador. Aplicant un raonament regressiu (molt habitual també en l'anàlisi de jocs) veurem que també seran 5 abans del 18: el 13. Si suma 7 podré restar 2 i deixar el total en 18 (13+7-2=18). Si en resta 2 podré sumar 7 i tornar a deixar en 18 (13-2+7=18). Fent aquest raonament regressiu veiem que els nombres guanyadors són:

18 - 13 - 8 - 3

A partir de qualsevol d'aquests nombres només cal fer "el contrari" que l'altre jugador: si suma 7 restarem 2, i si en resta 2 sumarem 7. Hi ha un nombre clau amagat que marquen les solucions: van de cinc en cinc. El cinc s'obté dels nombres del joc 7-2. El 3 que inicia la sèrie tampoc és difícil de calcular: és el residu de dividir 23 entre 5.

Com aconseguir un nombre guanyador?

El problema ara és com aconseguir una d'aquestes quantitats. Una possibilitat és fer un diagrama en arbre de les possibles jugades i "netejar-lo" després per deixar només l'estratègia guanyadora. Fent-ho veurem que amb aquests nombres pot guanyar sempre el primer jugador (A) ja que pot assegurar-se arribar a 3 o a 13 i, a partir d'aquí, aplicar el que hem vist: fer la jugada contrària a l'altre. Les línies vermelles indica que són jugades obligades.


Tornem al joc original

Apliquem el nostre anàlisi al problema original (-2, +53,  de 0 a 2017). El "nombre clau" serà 51 (53-2). El primer nombre guanyador serà 28 (el residu de dividir 2017 entre 51). Aquest nombre ens permet obtenir la resta de la sèrie de nombres guanyadors: 28 - 79 - 130 - 181.... 1915 - 1966. El primer dels jugadors que assoleixi una d'aquestes quantitats (de la forma 51n+28) podrà guanyar la partida. Però quin dels dos la pot aconseguir primer? Com? No sembla que el diagrama en arbre ens pugui ajudar gaire ara. Haurem de canviar l'enfocament.

T'animes a seguir?

28 de març de 2017

Dècimes i centèsimes de Violeta Parra

Hi ha formes poètiques que segueixen patrons específics. Una de les més estudiades des de les matemàtiques són les sextines, una forma d'origen medieval a la qual també es va acollir Joan Brossa en la seva "Sextina de la pau". Podeu descobrir les relacions de la sextina amb les matemàtiques en diferents articles, entre ells el de Josep Bargalló La sextina, mètrica i matemàtica: d’Arnaut Daniel a Joan Brossa o en el de Marta Macho Oulipo. Juegos matemáticos en la literatura.

Una forma més humil i popular és la dècima que, com indica el nom, té deu versos. Aquests són octosíl·labs i amb el següent patró de rima: a-b-b-a-a-c-c-d-d-c. També se l'anomena espinela, pel seu creador Vicente Espinel (segle XVI).

És coneguda la facilitat versificadora de la polifacètica cantautora xilena Violeta Parra (1917-1967). Seves són cançons tan inovidables com Gracias a la vida, Volver a los diecisiete, Mazúrquica modérnica i un llarg etcètera. També va enregistrar, recitades, moltes dècimes. Fins i tot existeix un llibre que les recull: Décimas. Autobiografia en verso en el que diu:

Si escribo esta poesía
no es solo por darme gusto,
más bien por meterle susto
al mal con alevosía;
quiero marcar la partida,
por eso prendo centellas;
que me ayuden las estrellas
con su inmensa claridad
pa’ publicar la verdad
que anda a la sombra en la tierra

Però hi ha una història amb unes dècimes molt especials que l'uniexen, ni que sigui tangencialment, amb les matemàtiques. I de la que no devia estar molt lluny el seu germà, poeta i matemàtic, Nicanor Parra.

La primera part de la història va ser l'enregistrament d'una cançó, 21 son los dolores, amb una lletra de quatre estrofes en forma de dècima. En cadascun dels quaranta versos va comptant des de l'u al quaranta, un nombre per vers: "Una vez que me asediaste, dos juramentos me hiciste, tres lagrimones vertiste, cuatro gemidos sacaste..."


Però la potència versificadora de Violeta Parra era molt superior i es va posar un repte a sí mateixa: arribar fins els 300... o més.

Vols saber-ne més?

21 de març de 2017

El Tangram mínim de Brügner (2)

A l'article anterior vam parlar del cas general del Tangram mínim de Brügner o tri-triangular amb el que es podien fer onze polígons convexos. També vam comentar que si partim d'un quadrat per a la seva construcció la quantitat de polígons convexos es reduïa a cinc.
Cas general del Tangram de Brügner
 Ja vam apuntar que hi havia un altre cas especial i, ho és tant, que ens hem estimat més dedicar-li tota una entrada. En aquest cas especial fem que un dels dos segment en el que queda dividida la diagonal sigui igual a un dels costats.
Tangram mínim especial
De fet, els rectangles amb aquestes proporcions es coneixen com a rectangles de Brügner. El cas és que, amb el tangram construït amb aquestes condicions augmentem la quantitat de polígons convexos que es poden fer. I no només això: hi trobarem interessants relacions de mesura entre els costats dels triangles i entre les seves àrees. El nombre d'or apareixerà de diferents formes. Et proposem diferents problemes:
  • Quants polígons convexes es poden fer?
  • Quina és la relació entre les mesures dels dos segments en que queda dividida la diagonal del rectangle?
  • I entre els costats del rectangle? I la del costat gran amb els altres tres segments que apareixen?
  • En quina proporció creixen les àrees dels tres triangles?


Ho mirem?

15 de març de 2017

El Tangram mínim de Brügner (1)

Existeixen infinitats de tangrams cadascun amb els seus interessos particulars. Entre ells un dels que pot donar molt de joc a les aules és el Tangram mínim o Tri-triangular inventat a l'any 1984 pel matemàtic Georg Brügner. És un tangram format per només tres peces que són triangles rectangles semblants i, en la seva versió general, molt fàcil de construir. Dedicarem un proper article a una versió particular del tangram amb unes mesures concretes. El seu interès no rau només en la poca quantitat de peces i en la seva similitud. Amb amb totes les peces del tangram xinès clàssic es poden construir només 13 polígons convexos, mentre que amb les tres úniques peces del Tri-triangular n'obtenim una quantitat que se li acosta molt.

 
Els 13 polígons convexos del tangram xinès
En primer lloc mirem com és aquest tangram

Com es pot observar només cal traçar la diagonal d'un rectangle i la perpendicular que la uneix a un dels altres vèrtexs.
Les mides del rectangle no influeixen, excepte en dos casos particulars. Ja hem dit que un d'ells serà objecte d'un altre article. Així podem partir d'un rectangle més allargat sense que variï la investigació que proposarem.
La pregunta és: quants polígons convexos es poden fer amb el tangram mínim?

Si els vols veure hauràs de continuar llegint.