5 de novembre de 2017

Els "sona": contes, geometria i nombres

Al llibre Una historia de la proporción de Manuel García Piqueras (Nivola, 2013) fa un apunt sobre uns dibuixos que alguns "contacontes" africans fan al terra tot acompanyant la seva narració. El mateix autor els ha utilitzat en una altra obra més recent de caire narratiu: La supersobrina y el enigma del gran astrolabio (Nivola, 2016). Però en cap d'aquestes obres entra en profunditat en el seu anàlisi matemàtic. El podem, però, trobar en un article seu en el n. 78 de la revista Suma: Un atardecer en África y América o en les actes de les 15 JAEM de Cartagena on va fer un taller conjuntament amb A. Bueno i J.L. Muñoz: Sona: una herramienta didáctica para primaria y secundaria. Per tant, ja podeu endevinar que només faré que reexplicar els seus materials. El cas és que darrera dels sona hi ha una interessant problema matemàtic.

Però millor que comencem sentint conte i veient un d'aquests dibuixos, realitzats pel propi Manuel G. Piqueras.

El perro y el cazador

Si observem el dibuix final del conte i fem alguna petita deformació geomètrica trobarem que és una figura que es pot fer d'un sol traç envoltant els punts d'un rectangle de 4x3. Aquest tipus de dibuixos es diuen sona, en plural, i lusona en singular.

Lusona del conte
Dibuixat amb segments rectilinis

Eliminant "deconnexions"
Si ens hem fixat en el vídeo la línia continua del lusona comença en un punt extern al rectangle de punts, avança amb un angle de 45º fins a un altre punt extern on "rebota" i continua avançant amb un angle de 45º però en una altra direcció. Potser per explicar i estudiar el dibuix del lusona convé fer una mica "de neteja" en la quadrícula i afegir alguns punts exteriors que ens ajudin a fer el dibuix.
Afegim els punts on la línia "rebota"
Eliminem els punts interiors
Podem veure ara una animació on es visualitza com sortint d'un punt i rebotant a les parets del rectangle que emmarca es pot dibuixar el lusona.
Investiguem sones sobre diferents rectangles?

8 d’octubre de 2017

Adoctrinament? Asèpsia?

En el capítol titulat Laicismo y biblioteca de La escuela moderna, on es recopilen diferents textos de Francesc Ferrer i Guàrdia, llegim com el seu autor obria un concurs per editar nous llibres d'aritmètica més acords amb les seves idees sobre pedagogia. Concretament deia:
"…la Escuela Moderna desea un conjunto de problemas por el cual la aritmética resulte lo que debe ser en realidad: la ciencia de la economía social, tomando la palabra economía en su sentido etimológico de buena distribución."
Al 1905 es publicaven, fruit d'aquest concurs, dos volums d'Elementos de aritmética. El de "principiants" recollia texts de Condorcet, Paraf-Javal i exercicis d'Henry Vogt, Podem veure dos exemples de problemes d'aquest llibre:


És probable que aquests problemes ens facin somriure. En podem trobar semblants també a La aritmética del obrero de José Sánchez Rosa.

En un altre extrem trobem, en canvi, alguns problemes que ens posen els pèls de punta. Aquest exemple de la pel·lícula de Roberto Benigni La vida és bella (1997) pot ser una mostra.


Podem pensar que és ficció. Però al llibre Expediciones matemáticas de Frank J. Swetz es cita un llibre de text alemany del 1941 on, després d'informar que "diàriament l'estat gasta 6RM en un tolit; 4,5 RM en un malalt mental; 5,5 RM en una persona sordmuda, 10,6 RM en una persona retrassada mental; 3,5 en un alcohòlic; 8,8 en un pupil a una casa, 2,1 en un pupil a una escola especial i 0,45 en un pupil a una escola normal" demana qüestions com aquesta:
"Calcula la despesa de l'Estat en un pupil a una escola especial i en un pupil a una escola normal al llarg de 8 anys i exposa el sobrecost generat per un pupil en una escola especial."
És evident que l'adoctrinament no és una de les funcions de l'escola. Tot al contrari. Hem de lluitar contra ell. Però, no negarem que darrerament hi ha discussió sobre aquest tema i que molts autoqualificats "antidoctrinaris" són els que realment volen imposar les seves doctrines. Mirem, si no, les polèmiques sobre els currículums d'història. Els de matemàtiques, en canvi, no solen ser motiu de guerra política. Sembla que són massa abstractes, o bé, suficientment abstractes. Entre altres aspectes podem observar que els problemes dels llibres de text, i molts dels que proposem a l'aula, solen tenir un aire asèptic, gens impregnats d'aspectes ideològics. Sempre s'utilitzen contextos nets i polits. Però la pregunta que se'm genera és si això és bo. I la resposta que em surt és que no ho és gens. Perquè deixar de banda la societat i els seus problemes no és gens asèptic. Al contrari, és una altra forma d'adoctrinament. Si constantment diem que les matemàtiques ens ajuden a entendre el món, no hem de fer entrar tots els aspectes d'aquest món a l'aula? Com podem preparar ciutadans crítics si no donem oportunitat a aplicar aquesta crítica a l'entorn social i polític proper?

M'agradaria insistir en l'adjectiu proper. No tenim problema en parlar a l'aula de la mitologia grega, però ens costa molt més parlar de la mitologia cristiana. Per què? Per si s'ofen algú? No ens costa estudiar problemes socials d'altres països, però, del nostre ens és tan fàcil? Si en algun moment hem patit al nostre centre (i a molts ens ha passat) actes de vandalisme els hem tractat immediatament a tutoria. No podem parlar de les destrosses als centres de l'u d'octubre per no "ferir sensibilitats"? És això adoctrinament? De no fer-ho no estaríem amagant el cap sota l'ala?

Ja hem dit que hem de treballar els nombres amb els alumnes perquè els ajudin a interpretar el seu entorn. Els moments electorals ho han estat sempre. Conèixer els sistemes de repartiment electoral és una part de l'educació ciutadana, com ho és reflexionar sobre les seves proporcions i desproporcions. El PP, al Congrés, té un 39,14% dels escons amb un 33,03% dels vots que, en realitat, representa un 23,06 % dels vots sobre el total del cens. Junts pel sí, al Parlament, té el 45,92% dels escons amb un 35,59% dels vots que és un 29,67% sobre el cens. No són les darreres de cada cas dades a calcular per saber com és de proporcional la representativitat parlamentària?

Un altre exemple. No se m'acut fer un treball estadístic que només inclogui recollida i organització amb càlcul de mesures de centralització i dispersió. Pot faltar la interpretació? I propostes de millora si la situació ho demana?

Però una educació matemàtica també hem de parlar sobre l'ús que se'n fa dels nombres. Les interpretacions, la utilització, la manipulació. Un exemple paradigmàtic és el del quantitat d'assistents a una manifestació. A continuació tenim dues imatges de dues manifestacions recents a Barcelona, totes dues fotografies són de La Vanguardia.

26/8/2017

11/9/2017
La primera de les imatges correspon a la manifestació contra l'atemptat terrorista del 17 d'agost a Barcelona. La premsa, en general, va parlar de mig milió d'assistents. Sense discussions. Sense discrepàncies. La segona fotografia és de la Diada del 2017. La Delegació del Govern a Catalunya va parlar de 350 000 persones, els càlculs de El País van ser de 484 000, Societat Civil Catalana (que mentre escric aquestes línies està realitzant una manifestació pròpia i sobre la que ha declarat una assistència de 900 000) les va rebaixar a 225 000. La Guàrdia Urbana va dir que "al voltant d'un milió". El cas més anecdòtic ha estat el del diari ABC que ens proposa un interessant problema de càlcul amb negatius tot fent perdre 800 000 manifestant menys que al 2014 en que defensava que havia participat mig milió.

ABC Catalunya digital 12/9/17

ABC paper 12/9/2014
Tan interessant a l'aula és fer el propi càlcul de xifres com el contrast entre les publicades i les seves intencionalitats.

[Haig d'afegir un exemple posterior a l'escriptura de l'article. M'han enviat aquesta imatge força raonable en la que es comparen les manifestacions de l'onze de setembre de 2017 i la del 8 d'octubre. La invitació a fer càlculs és immediata. Si la la zona verda representa un milió quant representa la de color rosa? I si són 225 000? I si a la zona rosa són 900 000, quanta gent hi ha a la blava? I si...]



Al web del Creamat podem trobar a l'article Errors al mitjans, exemples d'errors estadístics apareguts a la premsa. Veurem alguns dels que dubtarem que siguin errors involuntaris. Hi hi ha casos que directament no són errors, per exemple, en el cas de truncar gràfics.

Exemple de Telemadrid comentat a Malaprensa

He trigat en fer aquest article perquè no escriure'l en calent sobre algunes de les coses publicades al voltant del passat u d'octubre. Però noto que, encara que estic més fred ara, la indignació no se'm passa. Entenc que a l'aula hem de jugar un difícil equilibri entre la neutralitat, l'objectivitat i l'anàlisi i crítica del que passa. Però, encara que els temes són difícils no hem de defugir intentar-ho. L'asèpsia és alienadora. Potser, de vegades, hem de jugar amb el contrast.

El fiscal Juan Carlos Padín va fer un escrit al jutjat el passat 3 d'octubre en la que descartava les investigacions de les accions policials. És interessant, per contrast, la lectura del seu fil argumentari. En ell proposa un "exercici intel·lectual" per demostrar que el número de víctimes va ser mínim.


No he aconseguit recuperar unes declaracions d'Enric Millo amb aquests mateixos càlculs. Fins i tot em sembla que van ser anteriors a l'escrit de la fiscalia. En tot cas no seria la primera vegada que el PP avança arguments judicials. Hi van haver reaccions a twitter. Algunes preguntaven si es farien càlculs iguals amb les víctimes dels atemptats. En altres quin percentatge de la població representava el rei. Però crec que em falta humor davant d'un ús dels números tan fred i sense ànima, per no dir directament vil. 

Una possibilitat és comparar aquest ús de les dades amb els impactants anuncis del Servei Català de Trànsit de la Campanya “Tots tenim família. A la carretera víctimes 0” . Potser algú li hauria de fer una adaptació al fiscal Padín.


En el fons el que vull dir és que hem de contextualitzar les matemàtiques de forma que també toquem aspectes de valors. Que hem d'ajudar a entendre el nostre món i a millorar-lo. I que defugir aquesta qüestió només ajuda a fomentar l'acriticisme i el continuïsme. No parlar d'un tema no fa que deixi d'existir. I que a les escoles i als instituts sabem fer-ho bé, encara que algú digui que "adoctrinem".

Mussolini va dir a Roma al 1925: "Els millors feixistes obeeixen en silenci i treballen amb disciplina. Nosaltres diem: primer els deures, després els drets "

Ampliació

A les VII Jornades de la Cultura Matemàtica de els persones es va mostar aquest vídeo al qual no cal afegir més comentaris.

17 de juny de 2017

Experimentem els sorteigs "per lletra"

Fa molt poc Clara Grima publicava a l'ABC Ciència l'article "El sorteo por apellidos: la gran injusticia de la administración". La raó de la seva publicació va ser que la Junta de Castella-Lleó utilitzava, un cop més, aquest tipus de sorteig per dirimir els empats a l'hora d'adjudicar places escolars. Tothom hem sentit parlar d'aquest tipus de sorteig i, possiblement, l'hem patit, ja que fa uns anys eren més freqüents i a Catalunya també s'havia fet servir per adjudicar places escolars. L'article toca més temes, però en concret la injustícia matemàtica del sistema, està molt ben explicada i exemplificada. En tot cas és un exercici interessant aplicar-ho a la teva "realitat" perquè amb exemples reals i coneguts tot es veu i es viu d'una manera diferent. I, vet aquí, que tenim una magnífica situació per experimentar a l'aula amb la pròpia llista de la classe. A més, relativament fàcil de fer, perquè un cop entès el sistema d'anàlisis només cal que cada alumne faci l'estudi del seu cas i després només caldrà reunir les dades de tot el grup per comparar-les.


Un sorteig per lletra simple,  per adjudicar n places, funciona de la manera següent:
  • s'ordenen els candidats alfabèticament
  • s'extreu una lletra d'una urna
  • es cerca a la llista el primer nom que trobem a partir de la lletra que ha sortit.
  • s'adjudiquen les n places començant per aquesta
D'on prové la injustícia? Mirem-ho amb un exemple. L'estudi està fet amb els cognoms dels meus companys de feina que he reconvertit convenientment en noms de municipis de Catalunya. Ja us podeu imaginar qui és en realitat Jafre. La prova la farem adjudicant quatre places.

Cabrils, Calafell, Falset, Fígols, Figueres, Flix, Guissona, Gurb, Jafre, Linyola, Lladurs, Manresa, Martorell, Mollerussa, Montblanc, Mura, Peralada, Rellinars, Reus, Terrassa

Mirem alguns casos:
  • si surt la P els "afortunats" seran Peralada, Rellinars, Reus i Terrassa
  • si surt la R seran Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils, perquè es torna a començar pel principi de la llista.
  • si surt la Q tornen a ser els mateixos que abans (Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils) perquè amb la Q no tenim cap poble i, per tant, passa a la R.
Ho comencem a veure? Ens pot "tocar" amb més d'una lletra però cal mirar amb quines lletres ens toca i això depen de la llista concreta: quines lletres no hi són, quants pobles hi ha a cada lletra. Si fem un estudi observarem que, per quatre adjudicacions, Falset té un 50% de possibilitats de que li toqui i a Mura no li tocaria mai. El gràfic mostra clarament que les probabilitats no estan gens equilibrades.



Ho estudiem amb més atenció?

3 de maig de 2017

Una qüestió d'intercanvis

Aquest problema l'he conegut per Abel Hernández, alumne de Didàctica de les matemàtiques de Sergi Muria (@smuria)  i Jordi Font (@jfontgon) a la UB. És prou interessant com per dedicar-li un temps d'estudi. Com en molts problemes no interessen tant els casos particulars com la generalització. Però... com arribar a ella sense els casos particulars? Per altra banda, és un problema molt bonic per treballar-lo a l'aula reproduint-lo amb els propis alumnes.

Imaginem la situació següent: tenim una certa quantitat de persones, cadascuna amb un objecte personal. Les posem en fila, una al costat de l'altra. Cada persona pot fer dues coses: quedar-se amb l'objecte que té o intercanviar-lo amb una de les persones que tingui al costat. Aquest procés només es fa una vegada. El problema és esbrinar quantes distribucions d'objectes diferents podem obtenir després de fer-ho. En el següent vídeo podem veure quantes en podem obtenir amb tres participants.


Amb tres persones no és difícil d'analitzar. Si el segon no vol fer cap intercanvi cadascun es quedarà amb el seu objecte (el 1r i el 3r no se'l poden intercanviar). Si el 1r i el 2n se l'intercanvien el 3r es quedarà mirant. I si fan l'intercanvi el 2n i el 3r serà el 1r el que es quedarà amb el seu objecte. Hi ha tres casos.

Però i si són quatre persones? I si són cinc?

Investiguem?

18 d’abril de 2017

Un joc d'estratègia amb aire diofàntic

A la 53a Olimpiada Matemática Española, celebrada al mes de març de 2017, es va proposar el següent problema que convida a analitzar un joc. El més interessant és que, canviant els nombres, es pot jugar des de l'educació primària. Però la cerca d'una estratègia també comporta un bon treball matemàtic. La imatge del full de l'enunciat me la va enviar l'amic i especialista en jocs Jordi Deulofeu.


El joc es planteja sobre un tauler però poder fer un equivalent numèric ràpidament:
"Cada jugador pot sumar 53 o restar 2 alternativament. Es comença des de zero i guanya qui arriba exactament a 2017. No es pot sobrepassar en cap moment el 2017 ni es pot baixar de zero."
Com que no som "olímpics" treballarem el joc "a pic i pala". És interessant perquè en el seu estudi es poden veure dues fases ben diferents i, en una d'elles, la representació visual que fem ens pot ser de gran ajuda ja que ens permetrà fer analogies no numèriques per a la cerca de l'estratègia.

Reduïm el joc i fem les primeres passes

És molt habitual en l'anàlisi de jocs fer variacions que simplifiquin el problema i així poder facilitar els descobriments. Per exemple podem jugar amb +7 i -2 i que el límit sigui 23. Fins i tot per estudiar-lo a l'aula seria molt millor presentar inicalment una versió reduïda i més accessible. Abans de seguir llegint et proposem que analitzis el joc. I si ara no en tens ganes de fer-ho... continua la lectura.

Amb aquests nous nombres, quina quantitat anterior a 23 m'assegura guanyar? La resposta no és massa difícil: 18. Si al contrari li deixo 18 no pot sumar 7, perquè es passaria de 23, per tant està obligat a restar 2 deixant 15. Ara només em caldrà sumar 8 per arribar a 23. Molt bé, però quina quantitat anterior m'assegura arribar al 18 guanyador. Aplicant un raonament regressiu (molt habitual també en l'anàlisi de jocs) veurem que també seran 5 abans del 18: el 13. Si suma 7 podré restar 2 i deixar el total en 18 (13+7-2=18). Si en resta 2 podré sumar 7 i tornar a deixar en 18 (13-2+7=18). Fent aquest raonament regressiu veiem que els nombres guanyadors són:

18 - 13 - 8 - 3

A partir de qualsevol d'aquests nombres només cal fer "el contrari" que l'altre jugador: si suma 7 restarem 2, i si en resta 2 sumarem 7. Hi ha un nombre clau amagat que marquen les solucions: van de cinc en cinc. El cinc s'obté dels nombres del joc 7-2. El 3 que inicia la sèrie tampoc és difícil de calcular: és el residu de dividir 23 entre 5.

Com aconseguir un nombre guanyador?

El problema ara és com aconseguir una d'aquestes quantitats. Una possibilitat és fer un diagrama en arbre de les possibles jugades i "netejar-lo" després per deixar només l'estratègia guanyadora. Fent-ho veurem que amb aquests nombres pot guanyar sempre el primer jugador (A) ja que pot assegurar-se arribar a 3 o a 13 i, a partir d'aquí, aplicar el que hem vist: fer la jugada contrària a l'altre. Les línies vermelles indica que són jugades obligades.


Tornem al joc original

Apliquem el nostre anàlisi al problema original (-2, +53,  de 0 a 2017). El "nombre clau" serà 51 (53-2). El primer nombre guanyador serà 28 (el residu de dividir 2017 entre 51). Aquest nombre ens permet obtenir la resta de la sèrie de nombres guanyadors: 28 - 79 - 130 - 181.... 1915 - 1966. El primer dels jugadors que assoleixi una d'aquestes quantitats (de la forma 51n+28) podrà guanyar la partida. Però quin dels dos la pot aconseguir primer? Com? No sembla que el diagrama en arbre ens pugui ajudar gaire ara. Haurem de canviar l'enfocament.

T'animes a seguir?

28 de març de 2017

Dècimes i centèsimes de Violeta Parra

Hi ha formes poètiques que segueixen patrons específics. Una de les més estudiades des de les matemàtiques són les sextines, una forma d'origen medieval a la qual també es va acollir Joan Brossa en la seva "Sextina de la pau". Podeu descobrir les relacions de la sextina amb les matemàtiques en diferents articles, entre ells el de Josep Bargalló La sextina, mètrica i matemàtica: d’Arnaut Daniel a Joan Brossa o en el de Marta Macho Oulipo. Juegos matemáticos en la literatura.

Una forma més humil i popular és la dècima que, com indica el nom, té deu versos. Aquests són octosíl·labs i amb el següent patró de rima: a-b-b-a-a-c-c-d-d-c. També se l'anomena espinela, pel seu creador Vicente Espinel (segle XVI).

És coneguda la facilitat versificadora de la polifacètica cantautora xilena Violeta Parra (1917-1967). Seves són cançons tan inovidables com Gracias a la vida, Volver a los diecisiete, Mazúrquica modérnica i un llarg etcètera. També va enregistrar, recitades, moltes dècimes. Fins i tot existeix un llibre que les recull: Décimas. Autobiografia en verso en el que diu:

Si escribo esta poesía
no es solo por darme gusto,
más bien por meterle susto
al mal con alevosía;
quiero marcar la partida,
por eso prendo centellas;
que me ayuden las estrellas
con su inmensa claridad
pa’ publicar la verdad
que anda a la sombra en la tierra

Però hi ha una història amb unes dècimes molt especials que l'uniexen, ni que sigui tangencialment, amb les matemàtiques. I de la que no devia estar molt lluny el seu germà, poeta i matemàtic, Nicanor Parra.

La primera part de la història va ser l'enregistrament d'una cançó, 21 son los dolores, amb una lletra de quatre estrofes en forma de dècima. En cadascun dels quaranta versos va comptant des de l'u al quaranta, un nombre per vers: "Una vez que me asediaste, dos juramentos me hiciste, tres lagrimones vertiste, cuatro gemidos sacaste..."


Però la potència versificadora de Violeta Parra era molt superior i es va posar un repte a sí mateixa: arribar fins els 300... o més.

Vols saber-ne més?

21 de març de 2017

El Tangram mínim de Brügner (2)

A l'article anterior vam parlar del cas general del Tangram mínim de Brügner o tri-triangular amb el que es podien fer onze polígons convexos. També vam comentar que si partim d'un quadrat per a la seva construcció la quantitat de polígons convexos es reduïa a cinc.
Cas general del Tangram de Brügner
 Ja vam apuntar que hi havia un altre cas especial i, ho és tant, que ens hem estimat més dedicar-li tota una entrada. En aquest cas especial fem que un dels dos segment en el que queda dividida la diagonal sigui igual a un dels costats.
Tangram mínim especial
De fet, els rectangles amb aquestes proporcions es coneixen com a rectangles de Brügner. El cas és que, amb el tangram construït amb aquestes condicions augmentem la quantitat de polígons convexos que es poden fer. I no només això: hi trobarem interessants relacions de mesura entre els costats dels triangles i entre les seves àrees. El nombre d'or apareixerà de diferents formes. Et proposem diferents problemes:
  • Quants polígons convexes es poden fer?
  • Quina és la relació entre les mesures dels dos segments en que queda dividida la diagonal del rectangle?
  • I entre els costats del rectangle? I la del costat gran amb els altres tres segments que apareixen?
  • En quina proporció creixen les àrees dels tres triangles?


Ho mirem?

15 de març de 2017

El Tangram mínim de Brügner (1)

Existeixen infinitats de tangrams cadascun amb els seus interessos particulars. Entre ells un dels que pot donar molt de joc a les aules és el Tangram mínim o Tri-triangular inventat a l'any 1984 pel matemàtic Georg Brügner. És un tangram format per només tres peces que són triangles rectangles semblants i, en la seva versió general, molt fàcil de construir. Dedicarem un proper article a una versió particular del tangram amb unes mesures concretes. El seu interès no rau només en la poca quantitat de peces i en la seva similitud. Amb amb totes les peces del tangram xinès clàssic es poden construir només 13 polígons convexos, mentre que amb les tres úniques peces del Tri-triangular n'obtenim una quantitat que se li acosta molt.

 
Els 13 polígons convexos del tangram xinès
En primer lloc mirem com és aquest tangram

Com es pot observar només cal traçar la diagonal d'un rectangle i la perpendicular que la uneix a un dels altres vèrtexs.
Les mides del rectangle no influeixen, excepte en dos casos particulars. Ja hem dit que un d'ells serà objecte d'un altre article. Així podem partir d'un rectangle més allargat sense que variï la investigació que proposarem.
La pregunta és: quants polígons convexos es poden fer amb el tangram mínim?

Si els vols veure hauràs de continuar llegint.