28 d’octubre de 2014

Fraccions mirall

Podem jugar amb simetria i fraccions? Ningú ens ho prohibeix. Els nombres permeten una immensa quantitat de jocs i reptes. Provem a investigar les fraccions mirall.


Agafem un fracció amb la següent condició: el numerador i el denominador han de tenir dues xifres.

Si l'emmirallen obtenim una nova fracció

És força evident que les dues fraccions no són equivalents. En un cas tenim el numerador més gran que el denominador i en l'altre el numerador és el més gran.


En canvi, si agafem juguem amb el 13 i el 39 sí que podem obtenir dues fraccions equivalents quan invertim les xifres respectives del numerador i el denominador.

Tenim una fracció mirall.

A partir d'aquí ja podem començar a fer-nos preguntes:
  • Hi ha més fraccions mirall de dues xifres? Si és així, quantes?
  • Acompleixen alguna propietat?
  • I si provem amb tres xifres?
  • I amb quatre?

15 d’octubre de 2014

El dolç pler de passejar a l'atzar

Per la incertesa
de molts camins faig via;
tu m'acompanyes

Miquel Martí Pol

Al seu llibre Circo matemático en Martin Gardner deia. "Els matemàtics tenen el pertinaç costum d'analitzar tot el que és analitzable, i les caminades sense rumb no anaven a ser una excepció". Un passeig aleatori consisteix bàsicament en deixar a la sort la direcció de cada pas que donem. Aquestes passejades se solen estudiar en una, dues i tres dimensions i tenen aspectes que van contra la intuïció. De les passejades unidimensionals (sobre una línia) ja vam parlar a l'entrada Casualitats, creences, impressions... i allà mostràvem que, contra el que podríem pensar en primera instància, si sortim d'un punt i optem a cara o creu si anem cap endavant o cap endarrere no estem creuant el punt d'origen una i una altra vegada sinó que ens passem molta estona a un dels costats.


Ara ampliarem algunes idees, parlarem de les de dues i tres dimensions i farem alguna proposta per a l'aula.

Passejades unidimensionals

Imaginem que tenim un tauler lineal amb 9 caselles. Sortirem del centre i, tirant una moneda, decidirem si anem a la dreta o a l'esquerra. Si ens sortim del tauler acaba el joc "negativament". Si tornem a la casella central acaba "positivament".


Una primera pregunta que ens podem fer és; quina és la probabilitat de tornar a estar a la sortida al 3r moviment? Penseu abans de continuar llegint.

La resposta és zero, impossible. Si imaginem pintades les caselles alternativament en blanc i negre a cada moviment canviem de color. Necessitem doncs una quantitat parell de moviments per tornar a una casella del mateix color. Només podrem tornar a l'origen al 2n moviment, al 4t, al 6è, etc.


Podem analitzar les probabilitats d'estar a cada casella a cada moviment. En aquest applet es mostren els càlculs.

Podem observar que les probabilitats de tornar al centre van minvant a mesura que augmentem la quantitat de moviments: és del 50% als 2 moviments, del 37,5% al quart, dels 31,25% al 3r... i del 14,66% si ens allarguem fins al 20è.

Això ens pot fer pensar que és més fàcil sortir-se'n del tauler que tornar al centre. Però si experimentem descobrirem que és "escandalosament" més probable tornar al centre.


Veure l'applet en una finestra independent

Una aparent paradoxa entre probabilitat calculada i probabilitat experimental? Una prova de que el problema és més complicat del que sembla?

Passem a estudiar les passejades aleatòries en dues dimensions?