27 de novembre de 2013

Quadrats greco-llatins: un joc útil a l'experimentació

Els quadrats grecollatins són una recreació clàssica que tenen darrera una història curiosa i interessant i que han transcendit l'àmbit dels jocs matemàtics per ser incorporats en altres territoris com, per exemple, el de l'experimentació científica. I és una història en que apareix un dels grans personatges de la matemàtica: Leonhard Euler que, per una vegada, no la va encertar del tot amb una conjectura. L'explicació que farem seguirà en molt els passos del capítol Enmendando a Euler: el descubrimiento de un cuadrado greco-latino de orden 10, del llibre Nuevos pasatiempos matemáticos de Martin Gardner (del qual, per cert, es celebrarà el centenari el proper any).

Comencem per un quadrat més simple: un quadrat llatí.

Col·loca les rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixi un color. (Pots arrossegar les peces)

Un quadrat grecollatí afegeix una dificultat. Ara cada peça té dues característiques: el color i la lletra.

Col·loca les rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixin un color o una lletra. (Pots arrossegar les peces)


Vols saber més dels quadrats grecollatins i de com són útils a l'experimentació?

21 de novembre de 2013

Vigilant polígons

El llibre de Clara Grima Hasta el infinito y más allá conté un capítol titulat  ¿Por qué no hay un poli en cada sala? on es presenta el problema del que parlarem ara. També va ser motiu d'una entrada a un dels seus blogs: Cuántos nos están vigilando. No millorarem el que ella ha escrit, però si que intentarem plantejar-ho com una possible seqüència didàctica per treballar el problema a l'aula. Som-hi doncs!

Imaginem que tenim una sala, per exemple d'un museu, on hem de situar una persona vigilant, tenint en compte que pot girar sobre sí mateix però no desplaçar-se. Si volem podem imaginar-nos un vigilant-mussol capaç de girar el seu cap 360º (imaginar-se la nena de l'exorcista girant el cap és més desagradable) o una càmera que gira sobre un eix.

Si tenim una sala en forma de quadrilàter, com el de l'exemple sota, és indiferent on col·loquem el vigilant. Sempre tindrà tota la sala en el seu camp d'observació, fins i tot posant-se a una cantonada.


Una sala una mica més complexa pot ser més exigent a l'hora de triar el lloc del vigilant, ja que no des de qualsevol lloc la visió és completa.


Algunes sales necessitaran, de totes totes, més d'un vigilant, encara que hi hagi zones sobrevigilades.


El problema tracta justament d'això: donada una sala poligonal qualsevol mirar quina és la quantitat de vigilants mínima que calen, on s'han de posar... i fins i tot treballarem un algoritme que ens ajuda a resoldre totes dues qüestions.

Vols estudiar el problema?

10 de novembre de 2013

Una safata tripartita

De vegades els objectes ens provoquen preguntes matemàtiques. Per exemple aquesta safata per "l'aperitiu dels diumenges". Té tres espais per posar, per exemple, patates, olives i escopinyes. Independentment de que donades les diferències de forma, volum, superfície, densitat... dels tres productes no cal que les tres parts siguin iguals, la primera pregunta és aquesta: tenen la mateixa àrea?


Si no és així, es poden calcular unes mesures noves tot mantenint el disseny? O bé és impossible? Podem inventar altres dissenys que no siguin el típic de formatgets?

Si voleu en aquest enllaç trobareru un arxiu en GeoGebra per treballar-hi-

3 de novembre de 2013

Tot sumant

En aquesta entrada us proposarem un parell d'exploracions basades en la suma i que són força interessants i entretingudes. La primera, "itineraris en la quadrícula" la recordo d'algun escrit de Fernando Corbalán i la segona, "segells", és de Brian Bolt.

1r problema: itineraris en quadrícula

Comencem pels itineraris. Es tracta de fer un recorregut per una quadrícula de la següent manera:
  • comencem a qualsevol casella posant un 1
  • passem a una casella contigua, en vertical, horitzontal o diagonal, i escrivim el nombre que correspongui a la suma de totes les caselles del voltant, ja toquin per un costat o per un vèrtex.
  • continuem fent un recorregut continu que, sense salts, completi tot el caseller.
L'objectiu és aconseguir el nombre més alt un cop completat el recorregut. Aquí teniu un exemple animat amb un exemple d'itinerari.

2n problema: segells

Imaginem que tenim quatre segells enganxats fent un quadrat de 2x2 amb els següent valors: 1, 1, 2, 5. Agafant els segells d'un en un, de dos en dos (mentre es toquin per un costat), de tres en tres o tots quatre poden fer franquejos des de 1 fins a 9. Ho podem veure a la següent animació.


Amb els valors 1, 2, 4 i 7 potser arribaríem a un nombre més gran, però com es pot veure a l'animació, el valor 5 no el podem obtenir.

El problema consisteix en trobar una distribució numèrica que permeti obtenir els totals successius 1, 2, 3... sense saltar-se'n cap tot arribant al nombre més gran possible.

Explorem els dos problemes?