25 de setembre de 2013

Arrel quadrada 2: L'arrel dels algoritmes més tradicionals

La majoria d'algoritmes tradicionals de l'arrel quadrada, del que s'ensenya(va) a les escoles, del del xinès antic, del grec, de la Índia... es basen en una interpretació algèbrica del problema geomètric de trobar el costat d'un quadrat d'àrea coneguda. Disposant d'una eina com GeoGebra no és difícil trobar una solució aproximada de forma relativament fàcil.


Si no disposem d'aquesta eina el que hem de fer és anar obtenint, de mica en mica, aproximacions successives a l'arrel del nombre. Els tres algoritmes que descriurem tenen trets comuns:
  • Comencen fent una primera aproximació encaixant un quadrat de costat conegut i que sigui el més gran possible (encara que sovint respectant graus d'unitat: centenes, desenes...)
  • Millorar l'aproximació a partir de càlculs amb l'àrea que no queda recoberta pel quadrat de la primera aproximació.
  • Per trobar aquesta aproximació es compta amb un nombre especial: el doble del costat del primer quadrat trobat.
Per exemple, si volem calcular l'arrel quadrada de 142 trobarem una bona aproximació inicial amb el quadrat de 11, que és 121. Ens quedarà per esbrinar el valor de x per que s'acompleixi que l'àrea de la zona que queda en forma de lletra L valgui el que falta de 121 a 142, és a dir, 21.

Continuem?

7 de setembre de 2013

Arrel quadrada 1: el mètode d'Heró

El meu primer contacte personal amb l'arrel quadrada va ser aproximadament als deu anys. Se'm va ensenyar un exigent algoritme que recordava vagament al de la divisió, però amb estranyes alteracions (es baixaven les xifres de dos en dos, es feien dobles tot deixant un foradet al darrera que omplies després de complicats temptejos...). Un cop dominat l'algoritme es passava a una altra cosa. El segon contacte no es va produir fins dos o tres anys més tard que un company (no el mestre) em va proposar un problema de l'estil: "un pagès vol plantar 169 cols de forma que hi hagi tantes files com columnes; quantes cols hi haurà a cada fila?". Vaig resoldre el problema tot fent proves i quan li vaig ensenyar la solució em va dir: "Bé... però només calia fer l'arrel quadrada de 169". Recordaré aquell instant tota la vida. L'arrel quadrada "servia" per a alguna cosa a banda de per torturar les nostres tendres neurones "en formació", resolia alguns problemes. Les cometes del "servia" són degudes a la inexistència de pagesos amb aquestes dèries. Recordo que els meus oncles pagesos de La Mancha tenien altres preocupacions més relacionades amb el temps atmosfèric o els preus fixats pels intermediaris. Tornant al tema: van caldre molts anys perquè em reconciliés amb l'arrel quadrada i va ser gràcies a les seves utilitats numèrico-geomètriques.

Les "arrels quadrades" de l'Ànec Donald al País de les Matemàtiques
Estarem ràpidament d'acord, confio, en que aprendre l'algoritme tradicional amb llapis i paper de l'arrel quadrada és absolutament innecessari. Però també estarem d'acord que treballar mètodes resoldre'n alguna, per algun altre mètode i sense utilitzar la tecla corresponent de la calculadora, ens ajudarà en la comprensió del(s) seu(s) significat(s). També, como no, analitzar algoritmes històrics és un treball matemàtic de primer ordre.

Per aquesta raó iniciem una petita sèrie sobre algoritmes de l'arrel quadrada semblant a la que vam fer sobre la divisió. I res millor que començar per un algoritme que dóna sentit geomètric a aquesta operació: l'algoritme d'Heró d'Alexandria.

2 de setembre de 2013

LOA (Lines of Action): un sorprenent joc de tauler

El LOA és un joc d'estratègia que, pel seu objectiu, podríem classificar en la categoria de jocs de connexió o d'alineació. Però la seva originalitat rau en les regles de moviment, rotundament inusuals i sorprenents. També el fet de l'existència de captures que poden proporcionar, a la vegada, avantatges i inconvenients. El joc va ser inventat a l'any 1960 pel canadenc Claude Souci i publicat pel seu amic, el també inventor de jocs Sid Sackson, a l'any 1969.

El material bàsic és fàcil d'aconseguir: un tauler de dames (8x8) i 12 fitxes de cada color que es disposen inicialment tal com es veu a la imatge:


Vols conèixer les regles i jugar?