Obrint i tancant portes

Aquest problema va aparèixer al n. 5 de la revista Cacumen (juny de 1983) en un recull sobre Martin Gardner. També Adrián Paenza l'explica al seu llibre Matemática, ¿estás ahí? Episodio 100.

El problema es pot plantejar perfectament al cicle superior de primària arribant a deduir el patró que el soluciona. A secundària podem plantejar-nos, a més, esbrinar el per què d'aquest patró.

Imaginem un hotel amb un grum juganer. Una nit organitza el següent joc. Demana pels altaveus a totes les habitacions que  obrin les portes (Posem que hi ha 100 habitacions, encara que a l'applet que acompanya el problema només hem posat 25). Després ordena: "Que les portes parells es tanquin!". Així les portes 2, 4, 6... queden tancades i les 1, 3, 5... queden obertes. Després torna a donar una altra ordre. "Que les habitacions múltiples de 3, canviïn la seva situació!". Canviar la situació significa que si la porta està oberta s'ha de tancar, i si està tancada, s'ha d'obrir. Així la porta 3, que estava oberta, s'haurà de tancar, però la 6, que estava tancada, s'haurà d'obrir. Després el grum va seguint: "Els múltiples de 4 que canviïn la seva situació!". "I ara els múltiples de 5!". I continua.

Al final del joc... quines portes quedaran obertes?

Podeu practicar amb aquest applet on obrireu i tancareu les portes clicant a sobre.

Enllaç al projecte en Scratch

Comentem com portar el joc a l'aula?

Una forma de treballar el problema a l'aula és repartint fulls numerats entre els nens i les nenes. Els podem col·locar en cercle perquè es puguin observar entre ells. El/la mestre pot fer de grum i donar les instruccions. Els nens i nenes deixaran a la vista el nombre si la porta està oberta i girat si està tancada. Si, per exemple, amb 26 fulls no s'ha endevinat el patró podem veure què passa repartint més nombres.

No és difícil (el que no vol dir que sigui fàcil) descobrir quins nombres queden destapats. Normalment es descobreixen dues pautes:

• que són els quadrats perfectes (1, 4, 9, 16...)
• que per "endevinar" la porta següent cal sumar successius senars (1, 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16....)

A l'aula podem aprofitar per relacionar les dues descobertes amb una il·lustració com la següent:

Sobre per què són els quadrats perfectes us deixem investigar la raó (i, a males, la podeu consultar als enllaços de la revista o al llibre de Paenza)

Què recollia Cacumen de Gardner?

No he estat capaç de localitzar a quin llibre, dels publicats en castellà, apareixen el problema i el text que extrauré. Només els he trobat a la revista Cacumen. En tot cas em sembla interessant recollir-lo. El problema servia per exemplificar unes reflexions prèvies que em sembla interessant reproduir:

"L'element lúdic que fa recreativa la matemàtica recreativa pot assumir moltes formes: un problema a resoldre, un joc competitiu, un truc de màgia, una paradoxa, una fal·làcia o senzillament matemàtica amb algun gir curiós o divertit. Són aquests exemples de matemàtica pura o aplicada? És difícil dir-ho. En un sentit la matemàtica recreativa és matemàtica pura, incontaminada d'utilitat. En un altre sentit és matemàtica aplicada, ja que respon a la necessitat humana de jugar.
No hi ha molta diferència entre el plaer que experimenta un aficionat al resoldre un trencaclosques intel·ligent i el plaer que experimenta un matemàtic al dominar un problema més avançat."

Martin Gardner

Una reflexió interessant.

Aquest joc va aparèixer a la revista CACUMEN (n. 5, juny de 1983) ara farà uns 30 anys. La revista va durar poc més de tres anys i es van publicar 47 números. De tant en tant, en aquest bloc, recuperarem algunes de les seves propostes lúdiques.