5 de desembre de 2012

Divisió 5: control del resultat

En entrades anteriors hem vist diferents algorismes històrics de la divisió. En èpoques sense calculadores electròniques trobarem que la majoria de textos aritmètics antics ens proporcionen tècniques de control del resultat per garantir la seva validesa. En la majoria de casos intenten ser mètodes més breus que repetir la pròpia operació. Vegem un exemple en aquesta imatge de la Summa de l'art d'aritmètica de Francesc Santcliment (el primer tractat aritmètic que es va imprimir a la península ibèrica i segon del món, a l'any 1482). Si observem les parts encerclades observarem una creu on s'aplica un d'aquests mètodes: la prova del 9.


També al Tratatto di numeri et mesuri de Tartaglia, llibre de l'any 1556, observem la mateixa prova.


Vols conèixer quines propostes ens fan els llibres antics de càlcul?
La "prova real"

A la pàgina 28 del llibre Aritmética práctica y especulativa de Juan Pérez de Moya (1717) es diu:
"Si quan haguessis fet una partició (divisió), vols saber si està encertadament feta, multiplicaràs el quocient pel partidor (divisor), i afegiràs a aquesta partició allò que de la tal partició sobrés (residu), si alguna cosa sobrés, i serà tant com la partició (dividend)".

Les paraules entre parèntesis d'aquest text, així com dels que vindran, les hem afegit per facilitar la comprensió.

El que Juan Pérez de Moya ens està explicant és la comprovació clàssica de la divisió.



La quantitat de xifres del resultat

Aquest mètode no és una comprovació del resultat sinó una pista sobre la seva plausibilitat. El trobem al Compendi de l'art del càlcul, llibre atribuït a Ibn al Samh, escrit a finals del segle X o principis de l'XI. S'explica abans d'introduir el propi procediment de la divisió.
"I la regla per a conèixer l'ordre (la quantitat de xifres) que surt del quocient és que tu, quan divideixes un ordre entre el que té un ordre menor que ell, comptes el que hi ha entre l'ordre del divisor i el del dividend (tots dos inclosos) i compta això mateix des de l'ordre de les unitats i el que queda al final és el número d'ordre del quocient".

Traduït al llenguatge dels comuns ens està dient que la quantitat de xifres del quocient és la diferència de xifres entre el dividend i el divisor.


Mirar el residu

És una altra pista, ben coneguda, que ens indica si el resultat és raonable o no. Apareix a la Summa de l'art d'aritmètica de Francesc Santcliment que hem presentat al principi. És la primera de les tres regles per comprovar la bondat de la divisió. La segona i la tercera són la prova del 9, de la que parlarem a continuació, i la prova real que ja hem esmentat.
"... quan tu hauràs feta la partió (la divisió) i voldràs conèixer si hauràs fet ben fet, mira si la suma partidora (el residu) restarà major que lo partidor. I si és major, sia't senyal que és falsa".

Es avisa que el residu ha de ser més petit que el divisor.


La prova del nou

És el mètode més tradicional i que al nostre país s'ensenyava a les escoles fa anys, especialment per a comprovar la multiplicació. Un algorisme per a comprovar algorismes que es pot adaptar a les quatre operacions clàssiques. El misteri subjacent està en el propi nom: què pinta el nou en aquest mètode?

Al Libro primero d'arithmética algebratica (1552) de Marco Aurel, imprés a València al 1552, es presenta així:
"La prova del 9 del partir (de dividir) és multiplicar la prova del quocient amb la prova del partidor (del divisor) i ajuntant al producte o multiplicació la prova del que va sobrar, si alguna cosa va sobrar, i la prova de tot això ha de fer tant com la prova de la suma de partença (el dividend). Aquesta prova en substància és igual que la prova real, encara que no tan llarga ni tan vertadera...".

Què significa "la prova del quocient" o "la prova del partidor". Si retrocedim en el llibre, fins a la prova de la suma, trobarem una explicació de què són aquestes "subproves de la prova".
"... trauràs simplement de totes les lletres (les xifres) ajuntades planerament, els 9, dic que ajuntis les lletres planerament no fen cas si són uns (unitats), deus (desenes), cents (cententes) o millars; més abans com si totes fossin nombres digitals: com volent treure tots els 9 de 3458, diràs 3 i 4, són 7, i 5 són 12, trets els 9, queden 3; aquests ajunta amb els 8 i faran 11, trets els 9, queden 2; de manera, que trets tots els 9 de 3458, quedaran o sobraran 2, o la prova de 9 de 3458 és 2".
En aquest fragment se'ns explica dues coses:
  • que "la prova de 9" d'un nombre s'obté sumant les seves xifres d'una manera determinada.
  • que aquesta "prova de 9" és el residu de dividir el nombre per 9
Actualment a aquesta "prova de nou" l'anomenem arrel digital d'un nombre. Coincideix amb el residu de dividir el nombre per 9 i l'obtenim, de forma directa, sumant les xifres (prescindint dels 9). Si el resultat de la suma és superior a 10 tornem a repetir el procés, les vegades que calgui, fins arribar a una sola xifra. En aquest applet pots introduir nombres (entre 1 i 99 999) i observar com es troba.


Per fer la prova del 9 de la divisió hem d'obtenir les arrels digitals dels quatre nombres que hi apareixen: dividend, divisor, quocient i residu. Després apliquem la "prova real" però amb aquestes arrels en comptes de fer-ho amb els propis nombres. Si l'arrel digital del dividend és diferent de l'arrel digital del resultat obtingut d'aquesta operació:

arrel digital de (arrel digital del divisor x arrel digital del quocient + arrel digital del residu)

sabrem que l'operació està mal feta.

Amb aquest applet pots comprovar alguns casos que es fabriquen de forma aleatòria. En alguns la divisió estarà mal feta, però la prova del 9 no ens pot dir on està l'error.


Marco Aurel ens diu al seu text que la prova del nou "és igual que la prova real, encara que no tan llarga ni tan vertadera". Què ens vol dir amb "ni tan vertadera"? Que la prova del 9, si no surt bé, ens assegura que la divisió està malament, però, si surt bé, no ens garanteix que l'operació estigui ben feta. Si l'error és de 9, o múltiples de 9, en el quocient o en el residu, la prova no el detecta. Tampoc si afegim zeros a tort i a dret.

Errors no detectats


Complementem la prova del 9

Al Tratatto di numeri et mesuri de Tartaglia, conscient també de les limitacions de la prova del 9, proposava, a més, fer la prova del 7. Consisteix en repetir la prova però amb els residus de les divisions entre 7 del dividend, divisor, quocient i residu.

Divisió errònia detectada gràcies a la prova del 7

Aquesta doble comprovació tampoc garanteix al cent per cent que la divisió estigui ben feta. T'imagines de  ha de ser la diferència entre el resultat correcte i l'obtingut perquè l'error no es detecti?

Per altra banda calcular els residus de les divisions per 7 no és tampoc gaire còmode, ja que hem de fer les divisions a mà.

Iàkov Perelman, al seu llibre Aritmètica recreativa (1926) proposava complementar la prova del 9 amb la prova de l'11, ja que el residu de dividir per onze es pot trobar més fàcilment que el de dividir per 7. Per trobar el residu s'ha de procedir així:
  1. Es descompon el nombre en grups de dos xifres començant des de la dreta (Exemple: 38956 → 3 89 56)
  2. Se sumen els nombres obtinguts (3+89+56 = 148)
  3. Es torna a procedir, si cal, fins arribar a un nombre de dues xifres(148 →  1 48 →  1+48 = 49)
  4. Es calcula el residu de dividir aquest nombre per 11 (49 → 5)
Amb aquest applet pots veure com funciona el mètode per trobar els residus de la divisió per 11 (amb nombres entre 1 i 999 999)



Observem un exemple de divisió amb un error detectat amb la realització de les dues proves:

Divisió errònia detectada gràcies a la prova de l'11

Ara bé... quan no detectarà els errors aquesta doble prova?


En què es basa la prova del 9?

(Alerta! Tros un pèl farragós!)

La prova del 9 es basa en dues propietats matemàtiques:
  • Primera propietat: si operem dos o més nombres el resultat tindrà el residu (dividint-lo per un nombre n) igual al que s'obté d'operar amb els residus dels nombres que intervenen (dividits per aquest mateix nombre n)
És un principi de l'aritmètica modular (també coneguda com "aritmètica del rellotge" o "dels residus").

En aquesta aritmètica, per exemple, els nombres 17 i 323 són congruents en mòdul 3 perquè al dividir-los per 3 obtenim el mateix residu: 2

17 ≡ 323 (mòd 3)

En un rellotge el 2, el 14, 26... representen la mateixa hora: les 2 (en mòdul 12)


La propietat no és tan complicada d'entendre o argumentar com sembla per l'enunciat. Vegem alguns exemples:

Comprovem una suma en mòdul 4 (prova del 4)
Sumem nombres i sumem residus

14+25 = 39  →  14 ≡ 2    25 ≡ 1    39 ≡ 3   →   2+1 = 3
 Comprovem una resta en mòdul 6 (prova del 6)
Restem nombres i restem residus
34-21 = 13  →  34 ≡ 4    21 ≡ 3    13 ≡ 1   →   4-3 = 1
 Comprovem un producte amb mòdul 7
Multipliquem nombres i multipliquem residus

61 x 32 = 1952  →  61 ≡ 5    32 ≡ 4    1952 ≡ 6   →   5 x 4 = 20 ≡ 6

Disposició amb la prova del 7



  • Segona propietat: el residu de dividir un nombre per 9 és el mateix nombre que s'obté de sumar les seves xifres.
Mirem un cas algebraicament. Per exemple per un nombre de tres xifres:

100a+10b+c  = 99a+a+9b+b+c = 99a+9b+a+b+c = 9·(11a+b)+a+b+c

Ja que 9·(11a+b) segur que és divisible per 9 el que ens sobrarà de la divisió serà a+b+c. Només cal continuar una mica els càlculs en el cas de que a+b+c sigui més gran que 10 per veure que coincidirà amb el que hem anomenat arrel digital.

Quan fem la prova del 9 podem prescindir dels nous perquè 9 ≡ 0 (mòdul 9) ja que 9:9 és una divisió exacta i el residu és zero.

El fet de que el residu de 9 sigui tan fàcil d'obtenir és el que la "imposat" com a "prova oficial" de les operacions (malgrat les limitacions que ja hem fet observar abans).


I per acabar més descansats... màgia!

Hi ha molts trucs de màgia aritmètica que es basen en els residus de 9. La majoria ens obliguen a fer càlculs que, d'una manera o d'una altra, ens fan obtenir com a resultat un múltiple de 9.

Et mostrem les tres formes més habituals acompanyades d'enllaços que porten a exemples interactius:
  • compondre una sèrie més o menys llarga d'operacions que construeixen un múltiple de 9. (exemple)
  • fent-nos restar dos nombres que tenen les mateixes xifres en diferent ordre o restant al nombre les seves xifres. (exemple)
  • fent-nos sumar nombres formats amb totes les xifres de l'1 al 9, apareixent una sola vegada cadascun. (exemple)
En alguns d'aquests trucs se'ns fa endevinar una xifra que falta del resultat. Si aquest és múltiple de 9 només cal trobar l'arrel digital del nombre i mirar quan li falta per fer 9 per descobrir la xifra amagada.


I a l'aula?
  • Proposta 1
Fer descobrir quantes xifres pot tenir el resultat d'una divisió sabent quantes tenen el divididend i el divisor.
  • Proposta 2
Fer argumentar perquè el residu ha de ser més petit que el divisor.
  • Proposta 3
A partir de la "prova real" pensar en com es pot obtenir el residu d'una divisió amb la calculadora. També pensar altres mètodes que no estiguin directament relacionats amb aquesta prova.
  • Proposta 3
Practicar la prova del 9, com a curiositat històrica, amb la divisió o amb altres operacions. Fer descobrir operacions errònies tot posant algun cas "amb trampa" en que la prova no detecti l'error.
  • Proposta 4
Fer descobrir per a quins casos no funciona la prova del 9, ni la prova combinada del 9 i el 7, o les del 9 i l'11.
  • Proposta 5
Treballar una mica l'aritmètica modular. Es pot fer amb un rellotge: 5 + 9 = 2 (mòdul 12).
  • Proposta 6
Intentar justificar per què funciona la prova del 9. Per exemple a partir de la suma de dos nombres i treballant amb materials manipulables. Es pot fer trobar (o veure) que el residu de dividir per 9 el resultat d'aquesta suma 15+23, és el mateix que s'obté de sumar els residus de 15 i de 23 (tot fent un "apanyo" perquè 6+5 = 11, amb 11 podem fer un altre grup de 9, i finalment sobren 2)
  • Proposta 7
Intentar justificar, a secundària, per què l'arrel digital d'un nombre coincideix amb el residu de dividir per 9.
  • Proposta 8
Fer algun dels trucs de màgia. En alguns d'ells no és difícil fer endevinar com funciona el truc.







Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada