28 de novembre de 2012

Divisió 4: la divisió "per galera"

El matemàtic italià Nicolo Fontana, conegut com a Tartaglia, va publicar a mitjans del segle XVI el llibre Tratatto di numeri et misure en el que explicava, entre altres coses, mètodes de càlcul. A l'apartat dedicat a la divisió escrivia:
"El segon mètode de dividir s'anomena a Venècia per "vaixell" o per "galera" per certa similitud de les figures que de tal operació resulten, perquè de la divisió d'algunes classes de nombres neix figura similar a un vaixell (../..) amb la proa, la popa, el pal, la vela, els rems..."
Una divisió per "galera" té un aspecte com el de la imatge.

Divisió que apareix a la pàgina 84 del llibre (912345:1987) 

En alguns llibres antics s'evidenciava aquesta semblança afegint alguns "guarniments" a la figura.


El mateix Tartaglia no va poder evitar fer una demostració de la potència de l'algoritme fent una macrodivisió que, a més, encara mostrava de forma més clara el "vaixell".

Divisió que apareix a la pàgina 85 del llibre
(8888880000000888800000000888888 : 9999900000000999000000000999) 
Nota: al resultat li falta un altre 8

Aquesta divisió és "mare" evident de la que realitzam nosaltres ara.

Vols veure com és divideix "per galera"?

25 de novembre de 2012

Quants estan dormint a l'hostal?

Si us va agradar el problema dels pingüins al voltant del forat i el dels passatgers que perdien el tren aquí en teniu un altre de l'estil. En aquest joc també es tracta de buscar la regla amagada, la llei. Per jugar calen cinc daus. Vegem una jugada.
  • El "director" del joc tira els cinc daus i, per exemple, treu aquest resultat.
  • Un dels membres del grup demana: "Quants estan ara dormint?"
  • Llavors el "director" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Ara dormen 10"


Vols intentar endevinar la regla?

17 de novembre de 2012

Divisió 3: la divisió àrab

Així com podem entendre la multiplicació com una suma repetida, es pot considerar la divisió com una resta repetida. Al Traité d'Arithmetique de J.A. Serret (1887) podem llegir:
"La divisió es pot fer amb l'ajut de la sostracció. Es vol, per exemple, dividir 14 per 4, es restarà 4 de 14, el que donarà residu 10; s'ha de restar de la mateixa manera 4 de 10, el que donarà el residu 6; es restarà encara 4 de 6, el que donarà el residu 2, inferior a 4. Es veu que del dividend 14, es pot restar successivament tres vegades el divisor 4, i que s'obté llavors un darrer residu 2, inferior a 4, per tant, 3 és el quocient de la divisió de 14 per 4.

Aquest procediment, que condueix fàcilment al resultat en l'exemple que hem triat, seria sovint impracticable si es volgués aplicar directament d'aquesta forma. Caldrà, doncs, modificar-lo"

El que fa "impracticable" el mètode és la seva lentitud amb nombres més grans, per exemple dividir 8765 entre 6 restant els sisos d'un en un. La "modificació" consistirà, doncs, en accelerar el procés combinant multiplicacions i restes. És el que fa el nostre algorisme actual, hereu del que presentem en aquesta entrada al bloc: l'algorisme àrab.


T'animes a conèixer aquest algorisme?

12 de novembre de 2012

Divisió 2: la divisió per "replecs"

Aquest algorisme no acostuma a aparèixer als llibres d'aritmètica antics. El trobem, però, al Tratatto di numeri et mesuri de Nicolo Fontana, més conegut com Tartaglia, llibre que es va publicar a l'any 1556. Tartaglia el qualifica com un mètode "gentile e bello".

És un sistema que té avantatges clars però també limitacions evidents. La idea és la següent:
  • les divisions per una xifra són més fàcils que les de dues, tres... fins i tot es poden fer "de cap"
  • moltes divisions de més d'una xifra es poden descompondre en dues o més divisions d'una.
A l'aula podem fer l'experiència de preguntar: que t'estimes més? Una divisió per dues xifres o dues divisions per una xifra?

Mirem un exemple


A cadascuna de les divisions li deim replec. El cas anterior és fàcil perquè la divisió és exacta. Però mirem un segon cas.


El quocient és 281. Però quin és el residu? Dos? Tres? O cap dels dos?

Vols mirar com esbrinar el residu dividint per replecs?

4 de novembre de 2012

Divisió 1: la divisió egípcia

Iniciarem un petita sèrie d'entrades dedicada a conèixer diferents algorismes històrics de la divisió. I el millor és començar per un dels  més antics i clars que existeixen: l'egipci.

La numeració egípcia és purament additiva. Té un símbol per les unitats, un altre per les desenes, un altre per  les centenes... i així per a cada potència de 10. I s'escriuen tants símbols com calen per representar el grau d'unitat corresponent. El 348 tindrà tres símbols de centena, quatre de desena i vuit d'unitat. Podeu practicar aquesta numeració en aquest enllaç (i si voleu saber més sobre numeracions antigues navegueu pel web Càlculus).



Operar amb aquests nombres no es fa especialment difícil. En concret la multiplicació egípcia es basava en un interessant sistema de duplicacions successives i, aquest mateix sistema s'emprava per realitzar les divisions. No cal memoritzar les taules de multiplicar, potser l'única la del 2. El que hem de saber és duplicar i sumar.

Voleu conèixer la divisió egípcia?

1 de novembre de 2012

"Elogio de la irreligión" de John Allen Paulos

Potser perquè no és un llibre exclusivament de matemàtiques aquest títol del divulgador i matemàtic John Allen Paulos, publicat al 2009, ha passat una mica desapercebut. Però qualsevol obra de l'autor d'El hombre anumérico o Un matemático lee el periódico sempre té punts d'interès. Tal com es viu el tema religiós als Estats Units, on segons estadístiques que es comenten al llibre, els ateus són els que produeixen un major índex de desconfiança, no deixa de ser una iniciativa valenta escriure i publicar una obra d'aquest tipus.

No és tanta la distància entre un ateu i un creient. Si d'una bossa que conté mil euros una persona agafa un i una altra no n'agafa cap no hi ha gaire diferència de diners entre els dos. La majoria de creients tria un sol déu entre els centenars o milers existents (hi ha alguna estadística?) mentre que els ateus no n'agafen cap. Un creient només creu en un déu més que un no creient.  Aquest pseudoargument ja dóna per obrir un debat.

I aquí rau el problema. Es pot argumentar des de la lògica l'existència de déu? O, per contra, des de la lògica es pot desmuntar qualsevol intent de demostració de la seva existència? Aquest llibre s'inscriu en la segona línia. La seva pregunta inicial és: "Hi ha alguna raó lògica per creure en Déu?"