Capicues

Saps què té d’especial aquesta frase?

És un frase palindròmica: es llegeix igual d’esquerra a dreta que de dreta a esquerra.

Aquí tens un altre exemple en castellà que, a més, és autoreferent.

Els nombres palindròmics reben el nom especial de capicues i hi ha persones que senten una gran alegria quan els troben en la numeració d’un bitllet d’autobús, de loteria, de 10 euros.. o en la matrícula d’un vehicle.

Capicua, és una paraula que s’utilitza també en castellà, i que té un clar origen català. Els capicues són números que tenen igual el “cap” i la “cua”.

Investiguem els capicues?

Quants capicues hi ha?

D’una xifra no hi ha cap capicua (o ho són tots si ens ho estimem més).

De dues xifres hi ha 9 capicues: 11, 22, 33,....,99.

Els de tres xifres els podem formar a partir dels de 2.

• triem un capicua, per exemple el 44
• intercalem entre les dues xifres una altra xifra qualsevol: 424, 474,..

Podem obtenir 10 capicues a partir del 44. Quants obtindrem en total? Ara no és difícil contestar: Si de cada capicua de 2 xifres podem “fabricar” 10 nous, el total serà de 9x10 = 90 capicues de 3 xifres.

Els de 4 xifres també es poden obtenir a partir dels de 3, però, en ser una quantitat parell de xifres, no podem triar la xifra a afegir. Per tant, tornem a obtenir 90 capicues.

Ens animem a seguir amb cinc xifres, sis xifres...?

Ara, per a 5 xifres, ja tenim un mètode:

• Obtenir els capicues de 5 xifres a partir d’un de 4.
• Observar quants s’obtenen.
• Multiplicar per la quantitat total de capicues de 4 xifres.

Després podem continuar com abans (passar de 5 a 6 xifres, de 6 a 7, etc.) i recollir la informació en una taula que ens ajudi a observar pautes i regularitats. El nombre total s’obté sumant tots els capicues anteriors.

Xifres	2	3	4	5	6	7	8
Capicues	9	90	90
Total	9	99 (9+90)	189 (99+90)

Dies capicues

El 20 de febrer del 2002 va ser un dia especialment celebrat i, inclús, destacat en tots els noticiaris. Va ser el dia “més capicua” del segle XXI i anomenat “Dia de la Simetria”. Va haver-hi fins a qui va celebrar alguna festa a les vuit i dos minuts de la tarda (20:02 hores). Si escrivim la data completa podem veure per què.

Però, en el que portem de segle ja hi hagut dos dies més "supercapicues". Quins han estat?

Si fem una petita “trampa” podem trobar més dates capicues. L’única cosa que cal fer és no escriure l’any complet i no fer servir el zero del mes. Així el 20 de febrer del 2002 també es pot escriure així:

Ara podríem fer petites investigacions:

• quins mesos ens permeten formar capicues
• quants dies capicues hi ha hagut a l’any 2012
• quants hi haurà en el 2013?
• quin problema té el 2014 per a tenir “dies capicues”? Fins que any no tornaran a haver-hi?
• si ens animem podem buscar quants dies capicues hem viscut fins al dia d’avui.

Una curiosa manera d’obtenir capicues: agafa un nombre dóna-li la volta i suma

Si a un nombre de dues xifres li sumem el mateix número, però amb les xifres invertides, unes vegades s’obté un nombre capicua a la primera i d’altres no. Pots veure els exemple a la imatge.

A la llarga, si anem repetint el procés, sempre acabarem en un capicua. Per exemple el 68 necessita tres passos.

Hi ha números als què, realment, els costa arribar a un capicua. Per exemple el 89 necessita 24 passos i abans de 20 passos els resultats no cabran a la majoria de calculadores.

Ara podem investigar

• quins nombres de dues xifres es converteixen en capicues a la primera, a la segona, a la tercera, a la quarta o bé necessiten més de 4 passos.

• sense necessitat de girar-los, només observant les xifres, és possible saber quins números de dues xifres es convertiran a la primera en capicua. Intentem esbrinar com.

Ens podem "estirar"  a números de més xifres, però sense anar més enllà de 5 o 6 passos, perquè hi ha números, com el 196, per als que no s’ha trobat encara el capicua.