29 de desembre de 2012

Els itineraris Dufour

A la seva novel·la “El segle de la llum”, Pep Coll ens descriu l’època en la que es van construir les primeres preses al Pallars amb l'objectiu de produir electricitat.  El jove protagonista, en  Manel, un noi que fa de cambrer pels enginyers anglesos encarregats de l'obra, ha de buscar el Cau de gel perquè aquests puguin afrontar les calors estiuenques amb un bon  "whisky on the rocks". L’únic que sap arribar-hi és el pastor Duardo i a ell s’adreça en Manel. La sorpresa és que en Duardo guarda tots els itineraris dibuixats en bastons d'avellaner.


"Aquí tens el meu escabot de guies! -va exclamar, mentre amb el llum d'oli il·luminava un feix de bastons d'avellaner, recolzats a la paret en un racó de la cambra-. Veiam si trobem el que tu necessites. Aguanta'm el llumener.
(../..)
Ja el tenim, veus? -va exclamar per fi, mostrant-me un altre bastó-. Aquí ho diu ben clar: Cau del Gel.
Era un gaiato d'uns deu pams de llargària, bigarrat de signes estranys..."

Una possibilitat per indicar el camí en un pal recte és dibuixar un camí Dufour, un tipus de plànol que serveis per indicar itineraris en forma de línia recta.

Vols conèixer com és un itinerari Dufour?

5 de desembre de 2012

Divisió 5: control del resultat

En entrades anteriors hem vist diferents algorismes històrics de la divisió. En èpoques sense calculadores electròniques trobarem que la majoria de textos aritmètics antics ens proporcionen tècniques de control del resultat per garantir la seva validesa. En la majoria de casos intenten ser mètodes més breus que repetir la pròpia operació. Vegem un exemple en aquesta imatge de la Summa de l'art d'aritmètica de Francesc Santcliment (el primer tractat aritmètic que es va imprimir a la península ibèrica i segon del món, a l'any 1482). Si observem les parts encerclades observarem una creu on s'aplica un d'aquests mètodes: la prova del 9.


També al Tratatto di numeri et mesuri de Tartaglia, llibre de l'any 1556, observem la mateixa prova.


Vols conèixer quines propostes ens fan els llibres antics de càlcul?

28 de novembre de 2012

Divisió 4: la divisió "per galera"

El matemàtic italià Nicolo Fontana, conegut com a Tartaglia, va publicar a mitjans del segle XVI el llibre Tratatto di numeri et misure en el que explicava, entre altres coses, mètodes de càlcul. A l'apartat dedicat a la divisió escrivia:
"El segon mètode de dividir s'anomena a Venècia per "vaixell" o per "galera" per certa similitud de les figures que de tal operació resulten, perquè de la divisió d'algunes classes de nombres neix figura similar a un vaixell (../..) amb la proa, la popa, el pal, la vela, els rems..."
Una divisió per "galera" té un aspecte com el de la imatge.

Divisió que apareix a la pàgina 84 del llibre (912345:1987) 

En alguns llibres antics s'evidenciava aquesta semblança afegint alguns "guarniments" a la figura.


El mateix Tartaglia no va poder evitar fer una demostració de la potència de l'algoritme fent una macrodivisió que, a més, encara mostrava de forma més clara el "vaixell".

Divisió que apareix a la pàgina 85 del llibre
(8888880000000888800000000888888 : 9999900000000999000000000999) 
Nota: al resultat li falta un altre 8

Aquesta divisió és "mare" evident de la que realitzam nosaltres ara.

Vols veure com és divideix "per galera"?

25 de novembre de 2012

Quants estan dormint a l'hostal?

Si us va agradar el problema dels pingüins al voltant del forat i el dels passatgers que perdien el tren aquí en teniu un altre de l'estil. En aquest joc també es tracta de buscar la regla amagada, la llei. Per jugar calen cinc daus. Vegem una jugada.
  • El "director" del joc tira els cinc daus i, per exemple, treu aquest resultat.
  • Un dels membres del grup demana: "Quants estan ara dormint?"
  • Llavors el "director" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Ara dormen 10"


Vols intentar endevinar la regla?

17 de novembre de 2012

Divisió 3: la divisió àrab

Així com podem entendre la multiplicació com una suma repetida, es pot considerar la divisió com una resta repetida. Al Traité d'Arithmetique de J.A. Serret (1887) podem llegir:
"La divisió es pot fer amb l'ajut de la sostracció. Es vol, per exemple, dividir 14 per 4, es restarà 4 de 14, el que donarà residu 10; s'ha de restar de la mateixa manera 4 de 10, el que donarà el residu 6; es restarà encara 4 de 6, el que donarà el residu 2, inferior a 4. Es veu que del dividend 14, es pot restar successivament tres vegades el divisor 4, i que s'obté llavors un darrer residu 2, inferior a 4, per tant, 3 és el quocient de la divisió de 14 per 4.

Aquest procediment, que condueix fàcilment al resultat en l'exemple que hem triat, seria sovint impracticable si es volgués aplicar directament d'aquesta forma. Caldrà, doncs, modificar-lo"

El que fa "impracticable" el mètode és la seva lentitud amb nombres més grans, per exemple dividir 8765 entre 6 restant els sisos d'un en un. La "modificació" consistirà, doncs, en accelerar el procés combinant multiplicacions i restes. És el que fa el nostre algorisme actual, hereu del que presentem en aquesta entrada al bloc: l'algorisme àrab.


T'animes a conèixer aquest algorisme?

12 de novembre de 2012

Divisió 2: la divisió per "replecs"

Aquest algorisme no acostuma a aparèixer als llibres d'aritmètica antics. El trobem, però, al Tratatto di numeri et mesuri de Nicolo Fontana, més conegut com Tartaglia, llibre que es va publicar a l'any 1556. Tartaglia el qualifica com un mètode "gentile e bello".

És un sistema que té avantatges clars però també limitacions evidents. La idea és la següent:
  • les divisions per una xifra són més fàcils que les de dues, tres... fins i tot es poden fer "de cap"
  • moltes divisions de més d'una xifra es poden descompondre en dues o més divisions d'una.
A l'aula podem fer l'experiència de preguntar: que t'estimes més? Una divisió per dues xifres o dues divisions per una xifra?

Mirem un exemple


A cadascuna de les divisions li deim replec. El cas anterior és fàcil perquè la divisió és exacta. Però mirem un segon cas.


El quocient és 281. Però quin és el residu? Dos? Tres? O cap dels dos?

Vols mirar com esbrinar el residu dividint per replecs?

4 de novembre de 2012

Divisió 1: la divisió egípcia

Iniciarem un petita sèrie d'entrades dedicada a conèixer diferents algorismes històrics de la divisió. I el millor és començar per un dels  més antics i clars que existeixen: l'egipci.

La numeració egípcia és purament additiva. Té un símbol per les unitats, un altre per les desenes, un altre per  les centenes... i així per a cada potència de 10. I s'escriuen tants símbols com calen per representar el grau d'unitat corresponent. El 348 tindrà tres símbols de centena, quatre de desena i vuit d'unitat. Podeu practicar aquesta numeració en aquest enllaç (i si voleu saber més sobre numeracions antigues navegueu pel web Càlculus).



Operar amb aquests nombres no es fa especialment difícil. En concret la multiplicació egípcia es basava en un interessant sistema de duplicacions successives i, aquest mateix sistema s'emprava per realitzar les divisions. No cal memoritzar les taules de multiplicar, potser l'única la del 2. El que hem de saber és duplicar i sumar.

Voleu conèixer la divisió egípcia?

1 de novembre de 2012

"Elogio de la irreligión" de John Allen Paulos

Potser perquè no és un llibre exclusivament de matemàtiques aquest títol del divulgador i matemàtic John Allen Paulos, publicat al 2009, ha passat una mica desapercebut. Però qualsevol obra de l'autor d'El hombre anumérico o Un matemático lee el periódico sempre té punts d'interès. Tal com es viu el tema religiós als Estats Units, on segons estadístiques que es comenten al llibre, els ateus són els que produeixen un major índex de desconfiança, no deixa de ser una iniciativa valenta escriure i publicar una obra d'aquest tipus.

No és tanta la distància entre un ateu i un creient. Si d'una bossa que conté mil euros una persona agafa un i una altra no n'agafa cap no hi ha gaire diferència de diners entre els dos. La majoria de creients tria un sol déu entre els centenars o milers existents (hi ha alguna estadística?) mentre que els ateus no n'agafen cap. Un creient només creu en un déu més que un no creient.  Aquest pseudoargument ja dóna per obrir un debat.

I aquí rau el problema. Es pot argumentar des de la lògica l'existència de déu? O, per contra, des de la lògica es pot desmuntar qualsevol intent de demostració de la seva existència? Aquest llibre s'inscriu en la segona línia. La seva pregunta inicial és: "Hi ha alguna raó lògica per creure en Déu?"


21 d’octubre de 2012

Soldats amb un gos a mitjanit


La novel·la El curiós incident del gos a mitjanit de Mark Haddon ens explica, en primera persona, la història d'un noi de 15 anys, Cristopher Boone, que té síndrome d'Asperger.


En Cristopher té un gran interès per les matemàtiques i al llibre van apareixent petites reflexions sobre els nombres així com els problemes que el seu protagonista va resolent. Un d'ells és el del Soldats de Conway, problema inventat per John Conway al 1982. Aquest problema es resol amb fitxes sobre un tauler de cel·les il·limitades.


T'animes a conèixer-lo i a jugar-hi?

17 d’octubre de 2012

Quants passatgers han perdut el tren?

Si us va agradar el problema dels pingüins al voltant del forat aquí en teniu un altre de l'estil. En aquest joc també es tracta de buscar la regla amagada, la llei. Per jugar calen sis daus. Vegem una jugada.

  • La persona "directora" del joc tira els sis daus i, per exemple, treu aquest resultat.

  • Un dels membres del grup demana: "Quants passatgers han perdut el tren?·
  • Llavors la"direcció" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Hi ha 4 passatgers que han perdut el tren"


Vols intentar endevinar la regla?

9 d’octubre de 2012

Tallar i multiplicar

Per a SM, per "donar idees" sempre

Hi ha problemes que són especials, i el que ho fa, és la possibilitat d'explorar-los de formes diferents segons el nivell educatiu en que ens moguem. Això vol dir que el problema no s'esgota. Que permet diferents aprofundiments i que, com aquest, ens porten de la primària al batxillerat. Mirem una forma "bàsica" d'enunciar-lo:

Si tallem un nombre en diferents parts i les multipliquem entre si... com podem obtenir el producte màxim?

Per exemple, 37 es pot tallar en tres trossos: 5, 12 i 20. El producte és 1200. Es pot obtenir un producte més gran?

 


Comencem a estudiar el problema?

1 d’octubre de 2012

Combinar i comptar (joguines, poemes, discursos...)

Hi ha joguines clàssiques infantils que conviden a combinar caps, cosos i peus de diferents animals per formar-ne uns de nous més divertits. A sota teniu una minimostra perquè, arrossegant les peces, hi pugueu jugar. Però... quants animals diferents podem arribar a fer? Les peces de sota són poques i permeten trobar totes les possibilitats experimentant. Però  si afegim una peça amb un cos i dues amb altres peus... quants animals podrem fer ara?
Pots arrossegar les peces per formar animals

Introduint, poc a poc, peces noves passarem a fer observacions que ens portaran cap al producte. I en un d'aquells significats de la multiplicació que menys s'acostuma a treballar a les escoles.

Vols fer més combinacions diferents creant un bestiari imaginari o construint paisatges?
I conèixer les "màquines de fer poemes" o de "fer discursos"? I la de fer música?

23 de setembre de 2012

Llibres d'ocasió i Dudeney

Des del 21 de setembre al 7 d'octubre a Barcelona tenim la 61a Fira del Llibre d'ocasió. Una bona excusa per passejar, remenar i, probablement, tornar a casa amb algun llibre a la butxaca. Fàcilment trobarem antics manuals de matemàtiques, la majoria sense gaire interès. Però també podem sorprendre'ns amb petites joies. Una altra possibilitat és la de trobar d'oferta llibres de col·leccions ja desaparegudes. Enguany estan a bon preu alguns dels volums de la Biblioteca de Desafíos matemáticos que fa uns cinc anys va publicar RBA. Llibres de Martin Gardner, Édouard Lucas, Perelman, Brian Bolt, Pickover... No està la col·lecció completa però déu-n'hi-do. Jo he tornat amb tres recull de Henry E. Dudeney, un dels grans creadors de problemes que va treballar a cavall entre els segles XIX i XX. Un dels seus trencaclosques més és el que transforma un triangle equilàter en un quadrat.


Mirem un parell de problemes?

9 de setembre de 2012

Mesures senyeres. Alguns nombres sobre la bandera.

La vexil·lologia tracta de l'estudi de les banderes. Vexillum, en llatí, significa "bandera". Si mirem el vocabulari vexil·lològic descobrirem que la nostra senyera no té quatre barres sinó que consta de quatre faixes. Les franges horitzontals es diuen faixes i en vertical pals. Barres i bandes queda per les disposicions en diagonal. Una forma d'assenyalar amb un sol vocable la direcció que han de tenir.


No hi ha gaire normativa sobre la senyera però sembla que la recomanació vexil·lològica és que la seva proporció sigui 2:3 i que cada banda faci 1/9 del total. Mireu si la que heu penjat al balcó (si és que ho heu fet) sigui vexil·lològicament acceptable.

Quant mesura la senyera més gran del món?

Loyd i les monges dels Pirineus

El gran creador de problemes Sam Loyd va publicar entre finals del segle XIX i començaments del XX més de 10 000 puzzles. Uns 5000 els podem trobar a la Cyclopedia publicada al 1914 pel seu fill. Si voleu mirar només una selecció Martin Gardner en va fer un parell de molt ben pensades: Los acertijos de Sam Loyd i Nuevos acertijos de Sam Loyd. Són molts els problemes de Loyd que van quedar recollits a la web del Calaix +ie. Té molt d'encant veure els problemes amb els dibuixos originals de quan es van publicar. En podeu trobar molts a la pàgina oficial de Sam Loyd.

Un problema dels "facilets" i que podem proposar a les nostre aules és El problema del convent i que el mateix Sam Loyd situava en un inexisten convent de monges al Pirineu, concretament al peu de la Maladeta.


2 de setembre de 2012

"La conjetura de Fermat" de Jean d'Aillon

Voici un títol que porta a engany. Si el que us interessa és com fer jugar les matemàtiques en una intriga novel·lesca no us molesteu en llegir aquest llibre. Fermat i la seva conjectura juguen un paper molt tangencial en aquesta obra ambientada a la França del segle XVII, quan els tres mosqueters corrien les seves darreres aventures (Porthos també és un personatge convidat a l'obra). Al llibre hi apareixen els matemàtics Mersenne i Pascal que deleguen en Fermat la invenció d'un codi secret inviolable. Aquest nou codi s'ha de fer arribar al criptòleg del govern del Cardenal Mazarino.


5 de juliol de 2012

Una multiplicació més "ràpida": l'algoritme de Karatsuba

L'algoritme de la multiplicació ha variat força al llarg del temps. Però en la majoria d'algoritmes que s'han fet servir el que no canvia és la quantitat de subproductes que hem de fer. Per exemple, si multipliquem 45 · 738 farem 6 subproductes:

4·700      4·30     4·8     5·700     5·30     5·8

Com que les sumes són més fàcils no les comptem i, considerant que en realitat cada subproducte és realment de nombres d'una xifra, diem que el cost d'aquesta multiplicació és 6. Si multipliquem un nombre de 15 xifres per un altre de 23 el cost serà de 15·23 = 345 subproductes. En general es considera que el cost de l'algorisme tradicional de la multiplicació és de n2.

El que és curiós és que el problema de trobar una algoritme millor es continués estudiant i que, a mitjans del segle XX, s'inventés un altre amb un cost menor, de forma que, per exemple, una multiplicació de dos nombres de 1000 xifres, que amb els mètodes normals requereix 1 000 000 subproductes, es pugui resoldre amb poc menys de 60 000.

Quan veiem l'algorisme per primera vegada ens sembla estrany, però en realitat no ho és tant. El va inventar Anatoli Karatsuba a l'any 1962. El mètode demostra tota la seva potència amb nombres molt grans i està pensat per fer els càlculs amb ordinador. Tot i així li podem fer una ullada i podem provar el seu funcionament amb nombres més petits.

Anatoli Karatsuba
(1937-2008)
Mirem l'algorisme de Karatsuba?

24 de juny de 2012

Sumadora binària amb bales de vidre

Estem envaïts pel sistema binari, però s'amaga sota en eufemisme: "digital". No només escric ara utilitzant el sistema binari sense adonar-me sinó que la música que m'està acompanyant també està codificada en binari. De fons sento la televisió que està mirant el meu fill i que no sap que també li arriba en forma de uns i zeros.

Comptar i escriure en binari no és especialment complicat.


Podeu ampliar informació sobre el sistema binari al web Càlculus (activitat Uns i zeros) i al Bloc del PuntMat on tenen una proposta molt divertida per comptar amb uns i zeros: l'àbac de cadires.

Vols veure una sumadora binària que funciona amb bales de vidre?

22 de juny de 2012

Definicions fractals

Al mes d'abril vam fer una primera entrada sobre definicions. Es deia Definicions, paraules... Aquesta nova aportació proposa una mena de joc amb definicions i paraules.

Les definicions són importants. Les primeres pedres que va posar Euclides als seus Elements no van ser els postulats sinó algunes definicions. És important saber el significat de les paraules de forma clara i inequívoca. Però aquí tenim el primer problema lògic: les definicions es fan amb paraules que també són definibles.

Ràpidament podem caure en bucles com, per exemple, el que trobem si mirem al diccionari les definicions de pare i de fill. Per definir pare es fa servir el concepte fill i per definir fill el concepte pare.

També es pot entrar en una mena d'efecte Droste amb referències dins d'unes referències dins d'unes referències...



Juguem amb la definicions de definició i de diccionari que trobem al diccionari?

20 de juny de 2012

127 corbes + una : Obaba i un cargol

Aprenem a conèixer abans les corbes del camí que les purament matemàtiques. En els camins les corbes serveixen per canviar de direcció, per evitar obstacles o irregularitats. Però també per suavitzar pujades. A cost de fer més llarg el recorregut també el fem més descansat. No cal aplicar tanta energia per pujar. Els cotxes i els trens tenen uns límits per salvar desnivells: no poden amb pendents massa forts. Un tema que es pot treballar a l'aula és el de l'expressió dels pendents en percentatges. Però avui no en parlarem d'això. Plantejarem un problema de corbes de carretera extret de la novel·la Obabakoak i parlarem del túnel del Cargol que es troba a la línia de tren que uneix Barcelona amb Puigcerdà.
Les 21 corbes de paella de l'Alpe d'Huez

14 de juny de 2012

Quants pingüins hi ha al voltant del forat a la neu?

En aquest joc es tracta de buscar la regla amagada, la llei. L'únic material que cal són cinc daus. Vegem una jugada.

  • El "director" del joc tira els cinc daus i, per exemple, treu aquest resultat.


  • Un dels membres del grup demana: "Quants pingüins hi ha al voltant del forat a la neu?·
  • Llavors el "director" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Hi ha 4 pingüins al voltant del forat"



Vols intentar endevinar la regla?

12 de juny de 2012

El joc del Txuca Ruma

Aquest joc de solitari sembla tenir un origen incert que es situa pel sud-est asiàtic (Índia, Indonèsia...). Encara que algunes fonts asseguren que el seu inventor és el matemàtic francès de finals del segle XIX Édouard Lucas (també creador del joc de les Torres d'Hanoi).

És un joc del tipus mancala en els que el moviment recorda la sembra de llavors. En el Txuca Ruma el tauler té cinc forats. Quatre, que direm "normals", tenen dues llavors i el darrer, el ruma, no en té cap. Justament l'objectiu és posar les vuit fitxes inicials en el ruma, seguint les regles concretes del joc.

En aquest solitari, tot i no ser especialment difícil, convé procedir de forma ordenada i sistemàtica per trobar la solució, que, com veurem, és única.

T'animes a jugar?

8 de juny de 2012

Trajectòries i gràfiques

Les gràfiques espai-temps per a representar un moviment ens indiquen en quin lloc està, en cada instant, un objecte que es mou (un mòbil) . A més ens permeten esbrinar si varia de velocitat, si es para, si torna... Però no ens donen cap pista de com és el camí que fa: si hi ha corbes, si hi ha pujades o baixades... això ens ho diu la trajectòria, que és el camí que traça el mòbil. Les molles de pa que en Polzet deixava pel bosc mentre caminava amb els seus germans ens donen una idea de la trajectòria que va seguir però no ens diuen res sobre si caminaven ràpid o lent, ni de quan hi van passar.

Aquí tens tres abelles i podràs comprovar les diferències entre les seves trajectòries i les seves gràfiques espai-temps. Pots provar diverses vegades perquè les abelles no faran exactament el mateix moviment.


Estudiem una gràfica espai-temps?

3 de juny de 2012

Missatge subliminar o control mental

Segurament heu sentit parlar dels missatges subliminars. En publicitat s'han usat amb escreix malgrat la seva prohibició. Ara volem fer amb tu un experiment en el que, gràcies a un missatge d'aquest tipus, pensaràs que tries lliurement uns nombres, però en realitat estaràs condicionat pel nostre missatge.

Al quadre inferior podràs canviar el color de les caselles amb clics. El primer clic la posa en gris (eliminar), el segon clic vermella (seleccionar), un tercer clic la deixa com al començament. Ara segueix les instruccions.

Instruccions
  • Selecciona (vermell) qualsevol nombre de la taula
  • Elimina (gris) la resta de nombres que estiguin a la mateixa fila i a la mateixa columna.
  • Si ho has fet bé et queden nou números lliures. Selecciona'n un altre (vermell)
  • Elimina els nombres de la mateixa fila i columna que no ho estiguessin ja abans.
  • Et queden quatre nombres lliures. Tria'n un altre (vermell)
  • Elimina els de la mateixa fila i columna.
  • Et queda un nombre. Selecciona'l també.
  • Ara suma els quatre nombres triats.

Segur que sabem quant t'ha donat!

30 de maig de 2012

Quadrats geomàgics

Amb molta probabilitat coneixeu els quadrats màgics. Són quadrats en què les columnes, les files i les diagonals sumen el mateix. El més clàssic és el 3x3, amb els nombres de l'1 al 9 i amb suma constant 15.

Podeu ampliar informació sobre quadrats màgics numèrics al Calaix +ie (tipus, algoritmes...).

Però hi ha altre model de quadrat màgic, aquell en el que la reunió de les figures de les caselles de cada columna, fila i diagonal, construeix la mateixa figura. Són els quadrats geomàgics.


Practiquem?

28 de maig de 2012

La multiplicació veda

Al best-seller de Jonas Jonasson L'analfabeta que va salvar un país podem llegir al primer capítol com la protagonista, la Nombeko, resol un producte d'una forma prou curiosa:
"Com aquell dia que passava pel costat del seu superior jeràrquic directe, que s’escarrassava a redactar l’informe mensual sobre quantitat
i volum transportats.
–O sigui, noranta-cinc per noranta-dos –murmurava el cap–. ¿On és la calculadora?
–Vuit mil set-cents quaranta –va dir la Nombeko.
–Ajuda’m a buscar-la, maca.
–Vuit mil set-cents quaranta –va insistir la Nombeko.
–¿Què t’empatolles?
–Noranta-cinc per noranta-dos fan vuit mil set-cents...
–¿I com ho saps?
–Calculo que noranta-cinc són cent menys cinc, i noranta-dos són cent menys vuit. Si ho capgires i fas la resta, fan vuitanta-set. I cinc per vuit fan quaranta. Vuitanta-set quaranta. O sigui, vuit mil set-cents quaranta.
–¿I d’on l’has tret, aquest sistema? –va dir el cap estupefacte.
–No ho sé. ¿Podem continuar ja amb el que estàvem fent?
Aquell mateix dia la van ascendir a ajudant del cap."


Curiosament a la traducció castellana no canvia només el títol (La analfabeta que era un genio de los números) sinó que la descripció del procediment  conté algun detall més:

"Bueno, verá, pienso en que noventa y cinco son cien menos cinco, y noventa y dos son cien menos ocho. Si cruzas las cifras y restas la diferencia, es decir, noventa y cinco menos ocho, y noventa y dos menos cinco, siempre da ochenta y siete. Y cinco por ocho son cuarenta. Ochosietecuarenta. Ocho mil setecientos cuarenta."

En realitat l'algoritme que descriu es conegut com la multiplicació vèdica, un mètode hindú que no sabem com va conèixer o redescobrir aquesta noia de Sudàfrica.

Vols conèixer l'algoritme?

26 de maig de 2012

Trajectòries: Donant voltes (II)

Què passarà si fem “rodar” un triangle equilàter? És evident que els triangles no roden molt bé. Però ho poden fer fent recolzant-se en els seus vèrtexs. Al moviment que descriu un punt que es mou se l’anomena trajectòria.

Observa la trajectòria d’un dels vèrtexs d’aquest triangle rectangle polsant el botó.


24 de maig de 2012

Trajectòries: Donant voltes (I)


Observa el moviment d’aquest punt. No és una puça que està botant. Si vols saber qui ho dibuixa polsa sobre la bombeta perquè  “es faci la llum”.


Aquesta corba s’anomena cicloide. Un punt d’una roda quan gira traça una corba que s’anomena cicloide. És una corba que té propietats molt curioses. Però abans fixa’t bé en el seu moviment.

Si observes atentament veuràs que quan el punt està en la part superior de la circumferència es mou més ràpidament que quan està en la part inferior. També veuràs que quan toca el terra està parat durant un instant molt molt breu. Això vol dir que quan vas amb bicicleta, per exemple, hi ha punts de la roda que van més ràpids que la pròpia bicicleta o que, fins i tot, estan parats, encara que la bicicleta vagi a 30 km/h.

Si vols dibuixar una cicloide pot posar un llapis en un cilindre (el canut d’un rotllo de paper higiènic o de cuina et pot servir perfectament) i enganxar una llapis en el seu interior. Si el fas rodar al costat un paper col·locat verticalment dibuixaràs una cicloide.


21 de maig de 2012

La part de la part és menys part

No és el mateix que et mengis ¼ de pastís que la meitat de ¼ de pastís. Si et menges la meitat d’¼ t’estàs menjant 1/8 part del total. Quan parlem de fraccions és important saber quina és la unitat de referència, perquè, de la mateixa manera, no és el mateix menjar ½ pastís petitet que ¼ de pastís de noces. Això es complica amb els percentatges perquè no sempre se’ns diu quina és la quantitat que prenem com a referència del 100%.

Quan hi ha eleccions tenim una autèntica allau de percentatges. Per exemple sentim que el partit “tal” ha obtingut el 40% dels vots o que el partit “qual” només ha obtingut un 20%. Però això no vol dir que 4 persones de cada 10 hagin votat als primers i 2 de cada 10 als segons. De fet els ha votat menys població. El tant per cent varia segons quina referència prenem. Vegem un exemple pràctic. En les eleccions de Vil·lapolígons tenen un cens de 10 habitants. Es presenten dos candidats: en Pep Quadrat i na Marta Pentagonal.



Vols veure com han anat les votacions?

8 de maig de 2012

Gas, gràfics i mitjanes

Arribo a casa, obro la bústia i, amb puntualitat bimensual, trobo la factura del gas. Puja més del que m'espero i del que m'agrada, però la factura anterior, que incloïa els freds polars del gener i febrer, va ser pitjor. A la part de darrera de la factura hi ha un gràfic que recull els consums de dos anys. Quin hivern he consumit més, aquest o l'anterior? Com em puc contestar d'un sol cop d'ull?


3 de maig de 2012

Capicues

Saps què té d’especial aquesta frase?


És un frase palindròmica: es llegeix igual d’esquerra a dreta que de dreta a esquerra.

Aquí tens un altre exemple en castellà que, a més, és autoreferent.


Els nombres palindròmics reben el nom especial de capicues i hi ha persones que senten una gran alegria quan els troben en la numeració d’un bitllet d’autobús, de loteria, de 10 euros.. o en la matrícula d’un vehicle.


Capicua, és una paraula que s’utilitza també en castellà, i que té un clar origen català. Els capicues són números que tenen igual el “cap” i la “cua”.



1 de maig de 2012

Mel, mosques i aranyes

Imaginem la següent situació. Tenim una aranya que vol agafar una mosca que està enganxada en una petita taca de mel. L'aranya està en un punt A i la mosca està en un punt B. Quin és el camí més curt per arribar-hi?

Dependrà d'on estiguin el punt A i el punt B. En el pla serà la línia recta. Però... i si estan als vèrtexs oposats d'un cub?


La que explicarem ara és una proposta que es pot aplicar a classe. La idea original la vam utilitzar, fa uns anys, el grup Ull viu! en el disseny de la primera part d'una activitat sobre plànols per un taller (C. Vallès, D. Barba, L. Figueiras , N. López, I.Ubía i J. Jareño).

22 d’abril de 2012

Casualitats, creences, impressions...

  • Cremar-se l'esquena el primer dia que prenem el sol cada principi d’estiu és una sensació desagradable (i evitable si prenem precaucions). A més, prou que ens hàgim cremat, perquè constantment ens donin alguna palmadeta. En tot l’any no ens do-nen palmadetes, però aqueixos dies pareix que tot el món s'ha posat d'acord.
  • “El món és un mocador”, exclamem quan, en un lloc completa-ment inusual, ens trobem amb algun conegut.
  • Llei de Murphy: “Quan una cosa pugui anar malament, anirà malament. Si la torrada cau sempre ho farà pel costat de la mantega”.

Aquests són només alguns exemples de sensacions probabilístiques errònies. Constantment la gent ens toca l'esquena, però només ens n’adonem quan ens fa mal. A cada moment ens creuem amb gent, molta, moltíssima gent, però només ens sorprenem i recordem quan el rostre que veiem és conegut.

Les lleis de Murphy juguen, amb molt sentit de l’humor, amb aquestes trampes de la memòria que ens fan retenir només els casos que ens pareixen excepcionals i oblidar els molts que no ho són i que fan que els altres siguin probabilísticament completament normals.

16 d’abril de 2012

Cubicar el calendari

Imaginem que volem dissenyar un calendari de taula fet amb cubs. Dos cubs vermells per indicar el dia, dos blaus pel mes i dos verds per l’any. Una cosa semblant a la que es veu en aquesta fotografia però amb l’esquema proposat a sota.


 És possible fer-ho amb només dos daus de cada color? Si no és així, quin és el mínim de daus per cada part de la data? I... quins nombres posarem a cada dau.

15 d’abril de 2012

Les arrels de les arrels quadrades

Igual que la multiplicació o la resta de les operacions, l’algoritme per a calcular una arrel quadrada ha anat variant amb el temps. El més antic que es coneix té més de 5000 anys i s'utilitzava a l’antiga Mesopotàmia: feien servir unes taules en què trobaven els resultats d’una manera més o menys directa.


El resultat es podia ajustar més utilitzant taules amb quadrats de fraccions (1, 1 i ¼, 1 i 1/3,etc.). Actualment trobem molts decimals només polsant la tecla de la calculadora. Un dels mètodes més interessants per a calcular una arrel quadrada s’usava en l’antiga Grècia, farà uns 2000 anys.

12 d’abril de 2012

Un microones amb problema

Observa atentament el vídeo i intenta descobrir una cosa estranya que s'observa en la forma de girar el got.


Per què succeeix això?

11 d’abril de 2012

PolyPro: un pro-grama pro-poliedres

Si h ha un lloc on els programes informàtics ens poden ajudar és en la geometria de l’espai. No ens confonem: la geometria “tridimensional” sempre és millor tocar-la, veure-la realment, experimentar-la. Tot i tenint en compte que la majoria de programes informàtics o applets ens donen imatges bidimensionals que hem d’interpretar com tridimensionals, les possibilitats que ens donen de girar-los, optar entre mirar-los “plens” o buits i fins i tot manipular-los truncant-los, obrint-los, estrellant-los... de forma ràpida, còmoda i àgil fa que aquest tipus de programari sigui d’especial interès per les aules. Un d’aquests programes és Poly Pro que, si descomptem una pantalla que ens recorda sovint que ens hem de registrar i alguna altra petita limitació, podem considerar gratuït (i en temps de crisi no és poca cosa).


9 d’abril de 2012

El rellotge (?) de la Torre de les Aigües del Poblenou

A la plaça Ramon Calsina del Poblenou, tocant el carrer Selva de Mar, tenim la Torre de les Aigües. Va ser construïda al 1882 per la Compañía General de Aguas de Barcelona, a partir d'un projecte de Pere Falqués i Urpí, amb l'objectiu de captar i distribuir aigües del Besós. No se'n van sortir perquè l'aigua estava massa salinitzada. Posteriorment, al 1920, va ser adquirida per l'empresa Material y construcciones, coneguda més tard com Macosa, una de les fàbriques ja desaparegudes i emblemàtiques del Poblenou.

La torre té 63 m d'altura i uns 12 de diàmetre a la seva base. Un bon problema matemàtic pot ser comprovar aquestes mesures per mètodes indirectes. Però l'interrogant que proposem avui està relacionat amb un especial "pseudorrellotge" que hi ha a la part superior.

8 d’abril de 2012

La fórmula més estimada del profesor

  • Novel·la de Yoko Ogawa
  • Editorial Funambulista (Colección literadura) Madrid, 2008 (edició en castellà). Hi ha també edició en català del del 2014)
  • ISBN: 978 -84-941475-9-3 (cat) 978-84-96601-37-6 (cast)
 
Un dels defectes de la majoria de novel·les que inclouen divulgació sobre un tema, especialment una ciència o una part d’una ciència, és que en realitat són pseudonovel·les. L’ombra d’un dels primers best-sellers d’aquest gènere, El món de Sofia, és ben llarga i toca a llibres tan populars com El dimoni dels nombres, El teorema del lloro o un de ben recent, La porta dels tres panys. De fet s’ha de reconèixer que no és el mateix "inserir" divulgació que "integrar-la". O, potser, el que no s’ha de fer és disfressar les coses del que no són. La novel·la és novel·la i la divulgació és divulgació.



6 d’abril de 2012

Problemes de garrafes

És possible que recordis la pel·lícula La jungla de cristall 3 on els protagonistes, a més de la força bruta, han de fer funcionar el magí per resoldre alguns petits problemes matemàtics. En aquest fragment s'enfronten a un clàssic problema de transvasament de líquids.


Però aquest és un tipus de problema amb història i algorismes propis.

Definicions, paraules...

A classe no acostuma a tenir gaire sentit fer aprendre de memòria definicions de conceptes, però això no ens priva de jugar-hi. De vegades interpretar o construir definicions ens ajuda a fixar-nos en les propietats i característiques d'allò que volem definir. I, si més no, en hi fa reflexionar. Per exemple, per què no podem intentar que el nostre alumnat construeixi definicions de circumferència o angle i provocar discussions sobre les definicions fetes?


Un model per estudiar epidèmies

L'any 2009, entre moltes altres coses, va ser l'any de la Grip A. Alguns la van patir, uns altres es van fer d'or. En tot cas l'estudi de propagació d'epidèmies es basa en models i fórmules matemàtiques. Al n. 131 de la revista francesa Tangente, publicat aquell mateix any, hi havia un parell d'articles on es tractava aquest tema. En un d'ells (La thoerie des jeux pour modéliser la propagation d'un épidémie d'Hervé Lehning) es proposa un model, que aquí reproduirem amb un appplet, molt entenedor basat en el Joc de Vida de Conway i els seus autòmats cel·lulars.


29 de març de 2012

Simetries

Tenim bon ull per la simetria? Potser per identificar-la sí, però... i per construir-la?
Et proposem un joc perquè provis el teu ull per la simetria. Has de col·locar les tres formigues o construir un triangle simètric a un eix donat a ull. Després podràs comprovar el teu grau d'encert.

Set camps iguals

En Pol Trifàsic  ha deixat en herència als seus set fills un camp triangular de 1500, 2000 i 2500 m per costats. Ha fet marques cada 500 m als dos costats petits. Al testament ha deixat clares indicacions de que perquè els set fills es puguin quedar els camps han de saber situar el punt M sobre els costat de 2500 m de forma que els set camps tinguin la mateixa àrea. Ha deixat clares indicacions de que més que dir a quina distància dels vèrtexs el que demana que especifiquin són les propietats geomètriques d'aquest punt.

Els podem ajudar a trobar on ha d'estar M?

25 de març de 2012

Quants corredors han participat a la cursa?

Un dels signes de que la primavera arriba a El Corte Inglés és la capacitat que té de fer córrer al personal pels carrers de Barcelona. I després diuen de l'astènia que provoca aquesta estació.

A les curses els i les participants van numerats ordenadament però no corren de forma ordenada. Intentarem veure com es pot fer una estimació de la quantitat de persones inscrites a partir de l’observació d’uns quants dorsals. Un problema semblant seria el d’esbrinar la quantitat de taxis d’una ciutat a partir de l’observació d’uns quants números de calca.

De gats i ratolins

Si tres gats cacen tres ratolins en tres minuts... quan trigaran 100 gats en caçar 100 ratolins?